[論文レビュー] Notes on (twisted) lattice supersymmetry

Simon Catterall|ArXiv.org|Oct 7, 2005

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、スカラーの冪零な超対称生成子が正確な格子対称性を生成する、ねじれた超対称性を用いた新しい格子形式を提案する。量子力学、σ模型、ゲージ理論のねじれた形式を離散化することで、特にディラック＝カーラー粒子と前向き／後ろ向き差分作用素を用いることで、微調整なしに正確な格子超対称性を達成した。数値的・解析的に、動的なフェルミオン系のシミュレーションと複素化された場を用いたゲージ理論で確認された。

ABSTRACT

We describe a new approach to the problem of putting supersymmetric theories on the lattice. The basic idea is to discretize a {\it twisted} formulation of the supersymmetric theory. For certain theories with extended supersymmetry these twisted formulations contain only integer spin fields. The twisting exposes a scalar nilpotent supercharge which generates an exact lattice symmetry. We gives examples from quantum mechanics, sigma models and Yang-Mills theories.

研究の動機と目的

• 長年の課題である、量子補正によって破れるが微調整が必要な格子上での超対称性の保存を解決すること。
• 特に N=2 および N=4 超対称性を持つ理論を、ねじれた形式を用いて体系的に離散化する手法を開発すること。
• 格子作用が可換するスカラーの冪零な超生成子 Q を用いることで、正確な格子超対称性を保証すること。
• ゲージ理論への応用のために、複素化された場とゲージ不変性を保つ共変差分作用素を導入し、フェルミオンの二重化を回避すること。
• 強い結合定数を持つ超対称理論、例えば大 N のヤン・ミルズ理論の非摂動的正則化を提供し、弦理論および超重力双対性への応用を図ること。

提案手法

• 超対称性のねじれた形式を用い、超生成子 Q がスカラーかつ冪零（Q² = 0）であることで、正確な格子実装が可能となる。
• 作用は Q-正確に構成される：S = Q∫dt χ(N(ϕ) + ½B) であり、Q に対する不変性を保証し、補助場を統合することでオンシェル作用が得られる。
• 格子離散化では、前向き・後ろ向き差分作用素（D⁺ および D⁻）を用い、冪零構造を保ち、特にフェルミオンをディラック＝カーラー場の成分として扱うことでフェルミオンの二重化を回避する。
• ゲージ理論では、場を p-セル（サイト上の 0-形式、リンク上の 1-形式など）に割り当て、U(1) もしくは非アーベル群に対するゲージ不変性を保つために複素化された自由度を導入する。
• 共変前向き・後ろ向き差分作用素 D⁺ および D⁻ を定義し、正しいゲージ変換性を保証し、a→0 の極限で連続微分に還元される。
• ヤン・ミルズの場強度は Fμν(x) = D⁺μUν(x) として離散化され、連続極限で連続場強度に還元される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ねじれた超対称性の形式を、スカラーの冪零な超生成子が正確な格子対称性を生成するように、格子上で離散化可能か？
• RQ2 ディラック＝カーラー粒子と非対称差分作用素を用いることで、格子超対称理論におけるフェルミオンの二重化をどのように回避できるか？
• RQ3 微分形式の幾何的離散化を用いて、N=2 および N=4 の超ヤン・ミルズ理論に対してゲージ不変な格子作用を構成可能か？
• RQ4 前向き／後ろ向き差分作用素と点分割交換子を用いた場合、Q-正確な作用構成が格子 Q 変換に対して不変性を保つか？
• RQ5 連続極限において、複素化された格子場を実数場に切り詰める際、ねじれた超対称性が破れない範囲はどの程度か？

主な発見

• P(ϕ) = mϕ + gϕ³ である超対称量子力学モデルの数値的シミュレーションでは、L = 16 から L = 256 の格子サイズにわたり、ボソンおよびフェルミオンの質量ギャップが縮退したままであり、有限格子間隔でも正確な超対称性が成立していることが示された。
• 格子作用 S_L = Q∑χ_t(D⁺_tt'ϕ_t' + P(ϕ_t) + B_t) は、Q の冪零性と前向き差分の使用により、正確な Q 対称性を保つ。フェルミオンの二重化も回避される。
• 2次元のσ模型および4次元のヤン・ミルズ理論において、ねじれた形式により、局所的でゲージ不変かつ Q 対称性を持つ格子作用が構成可能であり、超対称性破れ項の微調整が不要である。
• 格子 p-セル上に導入された複素化された場（f および f†）により、一貫したゲージ変換性が保証され、正確な超対称性を持つ一貫した格子ゲージ理論の構築が可能になった。
• D⁺ および D⁻ 作用素による連続ヤン・ミルズ作用の離散化により、場強度 Fμν が a→0 の極限で連続形に還元され、連続極限の振る舞いが保たれる。
• 連続極限において、理論が実数場に切り詰められても追加の微調整が不要であり、[28] でねじれた超対称性のWard恒等式が回復されることで示された。