[論文レビュー] Notions of double for Lie algebroids

Kirill C. H. Mackenzie|ArXiv.org|Nov 24, 2000

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 30被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、空の二重リー代数群、一致するペアのリー代数群、および特定の半直積型のリー双代数群の間で図式的同値性を確立する。双代数群構造がリー双代数群を形成するとき、一致するペアのリー代数群が生じることを証明し、標準的同型および括弧の整合性条件を介して、古典的Drinfel'd二重構成をリー代数群の文脈に一般化する。

ABSTRACT

We define an abstract notion of double Lie algebroid, which includes as particular cases: (1) the double Lie algebroid of a double Lie groupoid in the sense of the author, such as the iterated tangent bundle of an ordinary manifold, and various iterated tangent/cotangent constructions in symplectic and Poisson geometry; (2) the double of a Lie bialgebra; (3) the double of a matched pair, or twilled extension, of Lie algebras, and a corresponding construction for matched pairs of general Lie algebroids in the sense of Mokri and of J.-H. Lu. We prove that, given any abstract Lie bialgebroid, the `double cotangent' has a structure of double Lie algebroid, which reduces to the classical Drinfel'd double in the Lie bialgebra case. The key to the compatibility conditions between the structures in an abstract double Lie algebroid is an associated Lie bialgebroid in the sense of the author and Ping Xu.

研究の動機と目的

• リー双代数からリー代数群への古典的Drinfel'd二重構成を一般化すること。
• 二重リー代数群の形式を用いて、リー代数群の一致するペアの背後にある微小構造を明確化すること。
• リー群の一致するペアの図式的特徴付けと同様の図式的特徴付けを、リー代数群の一致するペアに与えること。
• 二重構造上の双代数群条件が、一致するペアを定義するねじれ導分方程式と同値であることを確認すること。
• 一致するペア、リー双代数群、空の二重リー代数群の概念を、引き戻しと加法的構造を持つ圏的枠組みで統一すること。

提案手法

• ベース多様体Mを持つ二重ベクトル bundle 上のリー代数群構造として、空の二重リー代数群の概念を導入する。この構造は整合性条件を満たす。
• 二重リー代数群を、双対バンドルAとB上のリー代数群構造のペアとして定義し、接続バンドルと余接バンドルの間の標準的同型Rを導入する。
• 標準的同型Rを用いて、二重構造上のSchouten括弧をAとB上のリー代数群括弧に関連付ける。
• 二重代数群公理からねじれ導分方程式(6.1)を導出し、それが一致するペア構造と同値であることを示す。
• 半直積として二重リー代数群を構成する：(A ⋉ B*, A* ⋊ B)。この構造がリー双代数群を形成することを示す。
• リー双代数群の特徴付けをポissonテンソルと同型Rを用いて行い、三つの構造の同値性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー双代数の古典的Drinfel'd二重構成をリー代数群の文脈にどのように一般化できるか。
• RQ2 一致するペアのリー代数群に対応する正確な微小構造は何か。
• RQ3 リー群の一致するペアの図式的または圏論的特徴付けは、リー代数群の一致するペアに対しても同様に可能か。
• RQ4 二重ベクトルバンドル上の二重リー代数群構造から、いつリー双代数群が生じるか。
• RQ5 一致するペアを定義するねじれ導分方程式は、空の二重リー代数群の公理から直接導けるか。

主な発見

• 二重リー代数群構造(A; A, B; M)が空の状態であるとき、リー代数群のペア(A, B)の一致するペア構造と同値である。
• ペア(A, B)の一致するペア構造は、半直積によって定義されたリー双代数群構造(A ⋉ B*, A* ⋊ B)と同値である。
• 同値性は標準的同型Rと写像Tによる括弧の保存を介して確立され、二重構成の整合性が裏付けられる。
• ねじれ導分方程式(6.1)は二重代数群公理から直接導出され、これが一致するペアを定義する基礎的役割を果たすことが示された。
• この構成は古典的リー双代数の場合を一般化する：AとBがアーベル化されたとき、二重構造は標準的リー双代数のDrinfel'd二重を回復する。
• この枠組みにより、引き戻しと加法的構造を持つ任意の圏で有効な、完全に図式的な一致するペアの定義が可能になる。