[論文レビュー] Twilled Lie-Rinehart algebras and differential Batalin-Vilkovisky algebras

Johannes Huebschmann|ArXiv.org|Nov 10, 1998

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 21被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、微分幾何における複素構造の一般化として、twilled Lie-Rinehart代数を導入し、微分Gerstenhaber代数およびBatalin-Vilkovisky代数と関連付ける。可積分性の条件が、微分Gerstenhaber代数がdG代数であることとちょうど一致することを確立し、鏡像対称性の文脈においてホモロジカル双対性と正確な生成子を用いてTian-Todorov補題の概念的証明を提示する。

ABSTRACT

Twilled L(ie)-R(inehart) algebas generalize, in the Lie-Rinehart context, complex structures on smooth manifolds. An almost complex manifold determines an almost twilled pre-LR algebra, which is a true twilled LR-algebra iff the almost complex structure is integrable. We characterize twilled LR-structures in terms of certain associated differential (bi)graded Lie and G(erstenhaber)-algebras; in particular, the G-algebra arising from an almost complex structure is a d(ifferential) G-algebra iff the almost complex structure is integrable. Such G-algebras, endowed with a generator turning them into a B(atalin)-V(ilkovisky) algebra, occur on the B-side of the mirror conjecture. We generalize a result of Koszul to those dG-algebras which arise from twilled LR-algebras. A special case thereof explains the relationship between holomorphic volume forms and exact generators for the corresponding dG-algebras and thus yields in particular a conceptual proof of the Tian-Todorov lemma. We give a differential homological algebra interpretation for twilled LR-algebras and by means of it we elucidate the notion of generator in terms of homological duality for differential graded LR-algebras. Finally we indicate how some of our results might be globalized by means of Lie groupoids.

研究の動機と目的

• 多様体上の複素構造をLie-Rinehart代数の枠組みを用いて一般化すること。
• 微分Gerstenhaber代数構造を用いて、ほぼ複素構造の可積分性を特徴付けること。
• 微分graded Lie-Rinehart代数の文脈において、ホモロジカル双対性を通じてBatalin-Vilkovisky代数の生成子を解釈すること。
• Koszulの結果をtwilled Lie-Rinehart代数から生じるdG代数へと拡張すること。
• 鏡像対称性の文脈において、正則体積形式および正確な生成子のための概念的基盤を提供すること。

提案手法

• graded Lie代数構造とそれに適合する加群作用を用いて、複素構造の一般化としてtwilled Lie-Rinehart代数を導入する。
• twilled LR構造から関連する微分graded LieおよびGerstenhaber代数を構成し、微分および括弧作用の役割に特に注目する。
• 関連するG代数がdG代数であることは、ほぼ複素構造が可積分であることにちょうど同値であることを確立する。
• 微分ホモロジカル代数を用いて、dg-Lie-Rinehart代数の文脈においてBV代数の生成子をホモロジカル双対性による双対として解釈する。
• 正則体積形式と関連するdG代数における生成子の正確性を応用し、Tian-Todorov補題を再構築する。
• Lie群ガロアを用いて局所的構成をグローバルな幾何的設定へと拡張するための一般化を提案する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多様体上の複素構造は、どのようにLie-Rinehart代数の枠組み内で一般化可能か？
• RQ2 微分Gerstenhaber代数構造を用いて、ほぼ複素構造の可積分性はどのように特徴づけられるか？
• RQ3 この文脈において、Batalin-Vilkovisky代数の正確な生成子は、どのように正則体積形式から生じるか？
• RQ4 ホモロジカル双対性は、微分graded Lie-Rinehart代数における生成子の概念をどのように説明するか？
• RQ5 twilled Lie-Rinehart代数の局所的構成は、どのようにLie群ガロアを用いてグローバルな幾何的対象へと拡張可能か？

主な発見

• ほぼ複素構造は、ほぼtwilled pre-Lie-Rinehart代数を定めるが、それが真のtwilled Lie-Rinehart代数となるのは、構造が可積分である場合に限る。
• 関連するGerstenhaber代数がdG代数であることは、ほぼ複素構造が可積分であることにちょうど同値である。
• 本稿は、twilled Lie-Rinehart代数から生じるdG代数へとKoszulの結果を一般化し、Tian-Todorov補題のホモロジカルな解釈を提供する。
• 正則体積形式は、関連するdG代数における正確な生成子に対応し、Tian-Todorov補題の概念的証明をもたらす。
• BV代数における生成子の概念は、微分graded Lie-Rinehart代数の文脈においてホモロジカル双対性を通じて完全に特徴づけられる。
• この枠組みは、Lie群ガロアを用いてtwilled Lie-Rinehart代数を自然にグローバル化する道筋を示唆し、局所的な微分幾何的構造をグローバルな設定へと拡張する。