[論文レビュー] Novel Geometrical Models of Relativistic Stars. II. Incompressible Stars and Heavy Black Dwarfs

Plamen Fiziev|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2004

Geophysics and Gravity Measurements参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、アインシュタイン方程式における径方向ゲージ条件を再解釈することで、相対論的星のための新しい幾何学的枠組みを提案する。この枠組みにより、非圧縮性星が「重いブラックダスト」—任意に大きな質量、小さな半径、低光度を有する物体—を形成できることを示している。非圧縮性物質に対する拡張されたトゥルマン＝オッペンハイマー＝ボルコフ方程式の厳密解を用いて、二パラメータ族の解の存在を数学的に証明し、標準的なヒルベルトゲージ仮定（ρ_C = 0）に基づく従来の質量半径関係に反する結果を得た。

ABSTRACT

In a series of articles we describe a novel class of geometrical models of relativistic stars. Our approach to the static spherically symmetric solutions of Einstein equations is based on a careful physical analysis of radial gauge conditions. It turns out that there exist heavy black dwarfs: relativistic stars with arbitrary large mass, which are to have arbitrary small radius and arbitrary small luminosity. In the present article we mathematically prove this new phenomena, using a detailed consideration of incompressible GR stars. We study the whole two parameter family of solutions of extended TOV equations for incompressible stars. This example is used to illustrate most of the basic features of the new geometrical models of relativistic stars. Comparison with newest observational data is discussed

研究の動機と目的

• 径方向ゲージ条件の再評価を通じて、アインシュタイン方程式の静的かつ球対称解に対する新しい幾何学的アプローチを開発すること。
• 一般相対性理論における径方向座標の物理的解釈に長年の曖昧さが存在する問題を解決すること、特に星のモデルにおけるρ_C = 0（ヒルベルトゲージ）の仮定に関するもの。
• 非圧縮性物質極限において、任意に大きな質量、小さな半径、低光度を有する相対論的星—いわゆる「重いブラックダスト」と呼ばれるもの—の数学的証明をすること。
• 最近の白色矮星観測データと、新しい二パラメータ族の解を比較し、普遍的な質量半径関係の存在を疑問視すること。
• 自然界に硬い質量半径関係がないのは、方程式状態の制約によるのではなく、ρ_C = 0仮定の物理的非妥当性に起因する可能性を示すこと。

提案手法

• 一定エネルギー密度εを有する非圧縮性物質に対する拡張トゥルマン＝オッペンハイマー＝ボルコフ（ETOV）方程式の二パラメータ族の解を定式化する。
• 径方向ゲージ条件ρ(r)を動的変数とすることで、ρ_C > 0を許容し、標準的なヒルベルトゲージ（ρ_C = 0）を超える一般化を実現する。
• 質量および圧力方程式を解析的に解く：m(ρ) = (4πε/3)(ρ³ − ρ_C³) および dp/dρ = −(p+ε)(m + 4πρ³p)/(ρ(ρ−2m))。中心および表面での境界条件を適用する。
• 楕円積分J_{n|m}(ξ, ξ_C)を用いて径方向座標および計量成分を表現し、すべてのn, mについて厳密解が得られることを示す。
• ξ_C > 1/4^(1/3)の場合に複素モジュラス表現を導入し、複素パラメータであっても実数値の解が保証されることを保証する。
• 圧力が有限かつ正である条件から、臨界表面値ξ_*^{crit}(ξ_C)を導出し、物理的妥当性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般相対性理論において、物理的制約に反しない範囲で、任意に大きな質量および任意に小さな半径を有する相対論的星が存在しうるか？
• RQ2 径方向ゲージ条件ρ_C > 0の物理的意義は何か？ そして、標準的なヒルベルトゲージ（ρ_C = 0）と比較して、相対論的星の構造にどのように影響を与えるか？
• RQ3 マデイら（2004年）による白色矮星の二パラメータ族の観測（例：Madej et al., 2004）は、ヒルベルトゲージに基づく従来の質量半径関係と矛盾するか？
• RQ4 理想化された非圧縮性物質モデルでさえ、「重いブラックダスト」の存在を理解するための堅固な枠組みを提供できるか？
• RQ5 楕円積分の性質が、非ゼロの中心径方向座標を有する相対論的星の厳密かつ物理的に妥当な解を構築する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、「重いブラックダスト」とも呼ばれる相対論的星の数学的存在を証明した。これは、非圧縮性物質仮定のもとで、任意に大きな質量m_*、任意に小さな半径R_*、任意に小さな光度を有する。
• 二パラメータ族の解（例：m_*とR_*）により、質量と半径の間には固定された関数的関係が存在せず、ρ_C = 0に基づく標準的な質量半径関係に反する。
• ξ_C = 0（星の中心）の場合、臨界表面値はξ_*^{crit} = 0.9428に達し、この条件下での非圧縮性星の最大コンパクトネスを示している。
• ξ_Cが1に近づくにつれ、ξ_*^{crit}は1.0000に近づき、中心径方向座標が大きな星でも物理的に妥当であり、極限的コンパクトネスに近づく可能性を示している。
• 楕円積分のパラメータが複素数になる場合（ξ_C > 1/4^(1/3)）であっても、解析接続により実数値の解が保たれ、解は物理的に有効である。
• 結果から、一般相対性理論自体が星の質量に上限を課すわけではない。このような上限は、重力そのものではなく、量子統計的状態方程式の制約によって生じる。