[論文レビュー] Novel integrable higher-dimensional nonlinear Schroedinger equation: properties, solutions, applications

Anjan Kundu, Abhik Mukherjee|arXiv (Cornell University)|May 17, 2013

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 2被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、非局所的電流型非線形性を有する新たな可積分な(2+1)次元非線形シュレーディンガー方程式を提案し、正確なソリトン解と2次元のラフ・ウェーブモデルを可能にする。このモデルは、Lax対、無限個の保存量、および正確な高次ソリトン解を有しており、海洋のラフ・ウェーブや2次元非線形光学などの2次元非線形現象を完全に局所的かつ可積分な枠組みで記述可能である。

ABSTRACT

An integrable extension of the well known nonlinear Schroedinger (NLS) equation to a higher space-dimension, recently proposed by us, is investigated, exploring its various important aspects. Focusing on the idea of construction its connection with other known models like the Zakharov equation and the Strachan construction is shown. The underlying integrable structures like the Lax pair, the infinite conserved charges and the higher soliton solutions are presented in the explicit form. The related 2D rogue wave model and other applications are focused on.

研究の動機と目的

• 完全に局所的かつ可積分な(2+1)次元非線形シュレーディンガー方程式を構築し、ソリトン解を保存するとともに、従来のモデルに見られる非局所的結合を回避すること。
• 新しい方程式の可積分構造を確立し、Lax対および無限個の保存量を明らかにすること。
• Hirotaの双線形法を用いて正確な高次ソリトン解を導出し、その動的挙動を分析すること。
• 本モデルが2次元ラフ・ウェーブ形成および非線形光学、特に自己誘発透明性系への応用が可能であることを示すこと。
• 本モデルと既知の可積分系（Zakharovの構成やStrachanの構成など）との関係を明確にすること。

提案手法

• 標準的な立方非線形性の代わりに、可積分性を保証するための電流型非線形性を有する(2+1)次元NLS方程式を定式化する。
• スペクトルパラメータ $\lambda$、パウリ行列、および複素場 $q$ を含む行列作用素を用いて、Lax対を明示的に構成する。
• Lax対形式およびスペクトルパラメータの展開を用いて、無限個の保存量の階層を導出する。
• Hirotaの双線形法を適用し、1ソリトンおよび高次ソリトン解（ラフ・ウェーブの有理関数解を含む）を正確に導出する。
• Lax構造の比較を通じて他の可積分モデルとの関係を確立し、Davey-Stewartson方程式や自己双対Yang-Mills方程式などの既知の系への還元を示す。
• 自己誘発透明性（SIT）場を有する結合系にモデルを拡張し、初期状態の不均一な人口反転を考慮した結合2次元NLS-SIT系のLax対を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的で正則な非線形相互作用を有する(2+1)次元NLS方程式を構築可能であり、かつ可積分性を保つことができるか？
• RQ2 提案された2次元NLS方程式のLax対および無限個の保存量の明示的形は何か？
• RQ3 本モデルのソリトンおよびラフ・ウェーブ解は、1次元のPeregrineブレーカーと比較して、空間的構造および制御パラメータの観点でどのように異なるか？
• RQ4 本新規2次元NLSモデルとZakharovの構成やStrachanの構成といった既存の可積分モデルとの関係は何か？
• RQ5 本モデルは自己誘発透明性のような結合系に拡張可能であり、非一様な初期条件下でどのような新しいソリトン挙動が生じるか？

主な発見

• 提案された(2+1)次元NLS方程式は、スペクトルパラメータ $\lambda$、パウリ行列、および場 $q$ を含む明示的な行列形式のLax対を有することで可積分であり、無限個の保存量の存在を保証する。
• 本モデルはHirotaの双線形法を用いて正確な1ソリトンおよび高次ソリトン解を導出し、2次元空間において安定で局所的かつ指数関数的に減衰するプロファイルを示す。
• 2次元ラフ・ウェーブ解は、任意のパラメータ $\alpha$、$c$、$\mu$ を有する有理関数解として導出され、振幅、急峻さ、速度、持続時間の制御が可能である（1次元のPeregrineブレーカーとは異なり、任意のパラメータ制御が可能）。
• Lax作用素の還元を通じて、Zakharov方程式およびStrachanの構成と関係づけられ、本モデルが可積分系の広範な枠組み内に位置づけられることを示した。
• 自己誘発透明性（SIT）方程式と結合した場合、系は可積分性を保ち、変形されたLax作用素を有する。非一様な初期人口反転下では、標準的および加速型ソリトンが共存する。
• 非定常な初期 $N_0(y,z)$ の下で、可変速度 $v(y,z)$ および周波数 $\omega(y,z)$ を有する加速ソリトンの存在は、従来の期待をくつがえし、2次元非線形光学分野における新たな道筋を切り開く。