[論文レビュー] Nuclear dimension and Z-stability of pure C*-algebras

Wilhelm Winter|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2010

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ひとこと要約

本稿は、分離可能で単純かつ非初等的で単位元をもつC*-代数が局所的に有限な核次元をもち、かつトレーシング的(m, m̄)-純粋性条件を満たす場合、Z-安定であることを確立している。具体的には、強いトレーシング的m-比較とトレーシング的m̄-ほぼ可除性を組み合わせた条件である。主な結果は、このような代数がテンソル積で Jiang–Su 代数 Z を吸収することを示しており、Toms–Winter予想の主要なケースを解決し、K-理論的不変量を用いたAH代数および近似的に部分ホモジュラ代数の分類を完成させた。

ABSTRACT

In this article I study a number of topological and algebraic dimension type properties of simple C*-algebras and their interplay. In particular, a simple C*-algebra is defined to be (tracially) (m,\bar{m})-pure, if it has (strong tracial) m-comparison and is (tracially) \bar{m}-almost divisible. These notions are related to each other, and to nuclear dimension. The main result says that if a separable, simple, nonelementary, unital C*-algebra A with locally finite nuclear dimension is (m,\bar{m})-pure, then it absorbs the Jiang-Su algebra Z tensorially. It follows that A is Z-stable if and only if it has the Cuntz semigroup of a Z-stable C*-algebra. The result may be regarded as a version of Kirchberg's celebrated theorem that separable, simple, nuclear, purely infinite C*-algebras absorb the Cuntz algebra O_\infty tensorially. As a corollary we obtain that finite nuclear dimension implies Z-stability for separable, simple, nonelementary, unital C*-algebras; this settles an important case of a conjecture by Toms and the author. The main result also has a number of consequences for Elliott's program to classify nuclear C*-algebras by their K-theory data. In particular, it completes the classification of simple, unital, approximately homogeneous algebras with slow dimension growth by their Elliott invariants, a question left open in the Elliott-Gong-Li classification of simple AH algebras. Another consequence is that for simple, unital, approximately subhomogeneous algebras, slow dimension growth and Z-stability are equivalent. In the case where projections separate traces, this completes the classification of simple, unital, approximately subhomogeneous algebras with slow dimension growth by their ordered K-groups.

研究の動機と目的

• 単純かつ単位元をもつC*-代数において、核次元とZ-安定性との間の関係を確立すること。
• トレーシング的(m, m̄)-純粋性を定義し、強力なトレーシング的m-比較とトレーシング的m̄-ほぼ可除性を組み合わせた正則性条件として分析すること。
• 分離可能で単純かつ非初等的で単位元をもつC*-代数に対して、有限核次元がZ-安定性を意味することを示すことにより、Toms–Winter予想の主要なケースを解決すること。
• K-理論的不変量を用いて、遅い次元成長を示す単純かつ単位元をもつ近似的に部分ホモジュラC*-代数の分類を完成させること。

提案手法

• トレーシング的（および）(m, m̄)-純粋C*-代数の概念を導入し、強力なトレーシング的m-比較とトレーシング的m̄-ほぼ可除性を統合する。
• Robertの核次元がm-比較を意味することを示す結果を用い、それをトレーシング的m-比較およびm̄-ほぼ可除性へと拡張する。
• Kirchbergの被覆数技術を応用し、核次元と可除性性質との関係を確立する。
• c.p.c. 0次写像と分解可能c.p. 近似を用いて、必要な*-準同型およびユニタリ元を構成する。
• Cuntz半群とその同型不変量を活用し、Z-安定性を特徴付ける。
• これらの道具を統合し、局所的に有限な核次元のもとで、トレーシング的(m, m̄)-純粋性がZ-安定性を意味することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分離可能で単純かつ非初等的で単位元をもつC*-代数について、有限核次元はZ-安定性を意味するか？
• RQ2 トレーシング的(m, m̄)-純粋性は、局所的に有限な核次元をもつC*-代数におけるZ-安定性の特徴づけに用いられるか？
• RQ3 近似的に部分ホモジュラC*-代数において、Z-安定性は遅い次元成長と同値か？
• RQ4 核次元が有限であるC*-代数のCuntz半群は、そのZ-安定性を決定するか？
• RQ5 遅い次元成長を示す単純かつ単位元をもつ近似的にホモジュラC*-代数は、Elliott不変量によって完全に分類可能か？

主な発見

• 分離可能で単純かつ非初等的で単位元をもつC*-代数が局所的に有限な核次元をもち、かつあるm, m̄ ∈ ℕに対してトレーシング的(m, m̄)-純粋性を満たすならば、Z-安定である。
• 有限核次元はトレーシング的(m, m̄)-純粋性を意味し、その結果Z-安定性が導かれる。
• Z-安定性は、このような代数においてCuntz半群がA ⊗ ℤのそれと同型であることと同値である。
• 近似的に部分ホモジュラC*-代数において、Z-安定性と遅い次元成長は同値である。
• トレースを分離する投影をもつ、遅い次元成長を示す単純かつ単位元をもつ近似的に部分ホモジュラC*-代数のクラスは、その順序付きK-理論によって分類可能である。
• 近似的にホモジュラC*-代数において、遅い次元成長、Z-安定性、および有限な分解ランクの3つは同値であり、これによりElliott不変量による分類が完全に完成した。