[論文レビュー] Nuclearity-related properties for nonselfadjoint algebras

David P. Blecher, Benton L. Duncan|ArXiv.org|Apr 1, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 22被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、$C^*$-代数的性質である核質性、弱期待値性質（WEP）、正確性、局所的上げ上げ性質（LLP）の非自己随伴作用素代数版を導入し、調査する。$C^*$-包絡と生成された$C^*$-代数を用いて、これらの概念を古典的理論と結びつける。主な貢献は、ディリクレ代数に対して、これらの非自己随伴版が$C^*$-代数のそれらと一致することを確立することであり、また、$C^*$-核質性が部分正確性を意味しないこと、および一部の正確な作用素代数が正確な$C^*$-代数に埋め込めないことを示す反例も構成している。

ABSTRACT

In analogy with the C*-algebra theory, we study variants appropriate to nonselfadjoint algebras of nuclearity, the local lifting property, exactness, and the weak expectation property. In addition, we study the relationships between these notions, and how they are connected with the classical C*-algebra theory through the use of C*-algebras generated by the algebra.

研究の動機と目的

• 核質性、WEP、正確性、LLPといった基本的な$C^*$-代数的性質を非自己随伴作用素代数へ一般化すること。
• 非自己随伴性質とそれらの古典的$C^*$-代数的対応物との関係を、$C^*$-包絡と生成された$C^*$-代数を用いて明確化すること。
• これらの非自己随伴版が、キルヒブルクの予想を含む$C^*$-代数論における未解決問題を解消する手がかりとなるかどうかを検討すること。
• $C^*$-包絡の$Ext$が群であるかどうか（これはLLPに関連する条件）を特定すること。
• 古典的性質が非自己随伴代数へと持ち上がらない限界を、反例を用いて探ること。

提案手法

• 新しい性質の定義：非自己随伴作用素代数における$C^*$-核質性、$\mathbb{B}$-核質性、代数的弱期待値性質（AWEP）、準同型の局所的上げ上げ性質（HLLP）、部分正確性。
• $C^*$-包絡$C^*_{\rm e}(A)$と最大$C^*$-拡張$C^*_{\rm max}(A)$を用いて、非自己随伴性質を古典的$C^*$-代数的概念と関連付ける。
• 特に最小および最大の作用素空間テンソルノルムを用いたテンソル積技法を適用し、これらの性質の振る舞いを分析する。
• ディリクレ代数に対して、非自己随伴性質が$C^*$-代数のそれらと一致することを、$C^*$-包絡の剛性を用いて確立する。
• 作用素空間に$1$-OLLPをもち、有限次元の正確な空間を用いた反例を構成し、$C^*$-核質性が部分正確性を意味しないことの証明を行う。
• 作用素空間論および$C^*$-代数の拡張に関する結果を用いて、一部の正確な作用素代数が正確な$C^*$-代数に埋め込めないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自己随伴作用素代数が、その$C^*$-包絡を通じて、核質性やLLPといった$C^*$-代数的性質をいつ、どのように引き継ぐのか。
• RQ2 $C^*$-核質性が非自己随伴代数に対して部分正確性を意味するのか、あるいは反例が存在するのか。
• RQ3 $C^*$-包絡がLLPを持つが、代数自体がAWEP や HLLP を持たないような非自己随伴代数が存在するか。
• RQ4 正確だが、いかなる正確な$C^*$-代数に対しても埋め込めない非自己随伴作用素代数が存在するか。
• RQ5 WEPおよびLLPの新しい非自己随伴版が、キルヒブルクの予想を証明する道筋を提供するのか。

主な発見

• ディリクレ作用素代数に対して、$A$が$C^*$-核質性、AWEP、HLLP、$\mathbb{B}$-核質性、または部分正確性をもつことと、その$C^*$-包絡が対応する$C^*$-代数的性質をもつことは同値である。
• ある$C^*_{\rm e}(A)$が核質性（したがってLLPをもつ）であるが、$A$が$\mathbb{B}$-核質性でも$C^*$-核質性でもなく、AWEPも持たない、ユニタリ作用素代数$A$が存在する。
• 作用素空間$X$が$1$-OLLPをもち、有限次元であれば、代数$\mathcal{U}(X)$は$\mathbb{B}$-核質性をもつが、$C^*$-核質性ははるかに制限が強く、ほとんどの有限次元空間では失敗する。
• ある分離可能な正確な作用素空間が、いかなる正確な$C^*$-代数に対しても完全等長的埋め込みができないことが存在し、正確性が$C^*$-代数へと持ち上がらないことを示している。
• ある分離可能なユニタリ正確な非自己随伴作用素代数が部分正確でないことが存在し、非自己随伴代数における正確性が部分正確性を意味しないことを示している。
• 本稿では、$C^*$-核質性が部分正確性を意味しないこと、およびそのような代数が存在する可能性の証拠を提供しているが、明示的な例は構成していない。