[論文レビュー] Null-controllability of evolution equations associated with fractional Shubin operators through quantitative Agmon estimates

Paul Alphonse|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2020

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 30被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、定量的アグモン推定とゲルファンド＝シロフ正則性を用いて、$ℝ^n$ 上の分数階異方的シュービン作用素によって駆動される発展方程式のゼロ制御可能性を確立する。$2sm > 1$ の条件下で、任意の正の時刻において、厚さを持つ制御支援からそのような方程式がゼロ制御可能であることを証明し、関連する半群のゲルファンド＝シロフ空間における鋭い滑らかさ推定を示す。これは分数階調和振動子に対する結果を一般化する。

ABSTRACT

We consider the anisotropic Shubin operators $(-Δ)^m + \vert x\vert^{2k}$ acting on the space $L^2(\mathbb R^n)$, with $k, m \geq1$ some positive integers. We provide sharp quantitative estimates in Gelfand-Shilov spaces for the eigenfunctions of these selfadjoint differential operators, that is, exponential decay estimates both for these functions and their Fourier transforms in $L^2(\mathbb R^n)$. The strategy implemented is based on the classical approach to obtain Agmon estimates in spectral theory. By using a Weyl law for the eigenvalues of the anisotropic Shubin operators, we also describe the smoothing properties of the semigroups generated by the fractional powers of these operators, with precise estimates in short times. This description allows us to prove positive null-controllability results for the associated evolution equations posed on the whole space $\mathbb R^n$, from control supports which are thick with respect to densities and in any positive time. We generalize in particular results known for the evolution equations associated with fractional harmonic oscillators.

研究の動機と目的

• 全空間 $\mathbb{R}^n$ 上の分数階異方的シュービン作用素に関連する発展方程式のゼロ制御可能性を確立すること。
• ゲルファンド＝シロフ正則性を用いて、これらの作用素の分数階冪によって生成される半群の滑らかさ特性を分析すること。
• 分数階調和振動子に対する既知のゼロ制御可能性結果を、より一般な異方的シュービン作用素のクラスへ拡張すること。
• ゼロ制御可能性を保証する制御支援の最小幾何的条件を特定すること、特に「厚さ」と密度に基づく「厚さ」の性質を含む。
• スペクトル理論とワイルの法則を用いて、短時間における解の正則性に関する明確な定量的推定を導出すること。

提案手法

• スペクトル理論と関数計算を用いて、異方的シュービン作用素の固有関数に対する鋭い定量的アグモン型推定を導出する。
• 作用素 $H_{k,m} = (-\Delta)^m + |x|^{2k}$ の固有値に対するワイルの法則を適用し、半群 $e^{-tH^s_{k,m}}$ の短時間における滑らかさ行動を記述する。
• 半群 $e^{-tH^s_{k,m}}g$ が $S^{ u_{s,k,m}}_{\nu_{s,k,m}}(\mathbb{R}^n)$ に属することを確立し、明示的な指数 $\nu_{s,k,m} = \max\left(\frac{1}{2sk}, \frac{m}{k+m}\right)$ および $\mu_{s,k,m} = \max\left(\frac{1}{2sm}, \frac{k}{k+m}\right)$ を得る。
• Weyl量子化を用いたカットオフ関数アプローチにより、作用素 $\chi_j^w$ が $L^2$ 上で恒等作用素に収束することを示し、記号的計算を用いて交換子ノルムを制御する。
• カルデロン＝ヴァイランコールの定量的版を適用し、カットオフパラメータ $j$ に一様に有界な作用素ノルムを保証することで、収束の安定性を確保する。
• これらの推定を双対性の議論とカルレマン不等式を組み合わせることで、$2sm > 1$ の条件下で、厚さを持つ制御支援からゼロ制御可能性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 発展方程式 $\partial_t f + H^s_{k,m}f = h\mathbbm{1}_\omega$ が $\mathbb{R}^n$ 上でゼロ制御可能となる幾何的および解析的条件は何か？
• RQ2 分数階異方的シュービン作用素の半群 $e^{-tH^s_{k,m}}$ の明確なゲルファンド＝シロフ正則性特性は何か？
• RQ3 短時間における $H^s_{k,m}$ の滑らかさ効果は、パラメータ $s$, $k$, および $m$ にどのように依存するか？
• RQ4 特に $k=m=l$ の等方的ケースにおいて、密度に関する「厚さ」を持つ制御支援からゼロ制御可能性を確立できるか？
• RQ5 パラメータ $s$ についてのゼロ制御可能性の鋭い閾値は、$k=m=1$ の特別な場合に何であるか？

主な発見

• 任意の $t > 0$ に対して、半群 $e^{-tH^s_{k,m}}$ は $L^2(\mathbb{R}^n)$ をゲルファンド＝シロフ空間 $S^{ u_{s,k,m}}_{\nu_{s,k,m}}(\mathbb{R}^n)$ に写像する。ここで $\nu_{s,k,m} = \max\left(\frac{1}{2sk}, \frac{m}{k+m}\right)$ および $\mu_{s,k,m} = \max\left(\frac{1}{2sm}, \frac{k}{k+m}\right)$ である。
• 短時間 $0 < t \ll 1$ において、半群はゲルファンド＝シロフノルムにおいて定量的滑らかさを示し、$\|x^\alpha \partial^\beta_x e^{-tH^s_{k,m}}g\|_{L^2}$ の明示的減衰推定を得る。
• 任意の正の時刻 $T > 0$ において、$2sm > 1$ の条件下で、任意の厚さを持つ制御支援 $\omega \subset \mathbb{R}^n$（[18, 41] の意味で）からゼロ制御可能性が成立する。
• 等方的ケース $k = m = l$ において、密度に関する「厚さ」を持つ制御支援からゼロ制御可能性が達成され、[32] の結果を分数階シュービン作用素へ拡張する。
• 特別な場合 $k = m = 1$ および $s > 1$ において、任意の可測な制御支援 $\omega$（正のLebesgue測度を持つ）から、幾何的「厚さ」に依存せず、ゼロ制御可能性が成立する。
• 本稿は、分数階調和振動子（$H^s_{1,1}$）に対する既知のゼロ制御可能性結果を、アグモン推定とスペクトル理論に基づく統一的枠組みを用いて、より広範な異方的シュービン作用素のクラスへ一般化する。