[論文レビュー] Null holomorphic curves in $\mathbb C^3$ and the conformal Calabi-Yau problem

Antonio Alarcón, Franc Forstnerič|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2013

Holomorphic and Operator Theory参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、null曲線のランゲ・メルゲレヤン型近似定理と、滑らかなホロモルフィック写像のスプライの新規なグルーピング法を用いて、任意の位相をもつ完全で適切に埋め込まれた零ホロモルフィック曲線が ℂ³ に存在することを確立する。主な結果は、ℂ³ における完全で有界な零曲線の構成であり、コンformal Calabi-Yau 問題における長年の未解決問題を解決し、ℝ³ における最小曲面およびℍ³ における Bryant 表面へと拡張される。

ABSTRACT

In this paper we survey some recent contributions by the authors to the theory of null holomorphic curves in the complex Euclidean space $\mathbb C^3$, as well as their applications to null holomorphic curves in the special linear group $SL_2(\mathbb C)$, minimal surfaces in the Euclidean space $\mathbb R^3$, and constant mean curvature one surfaces (Bryant surfaces) in the hyperbolic 3-space $\mathbb H^3$. The paper is an expanded version of the lecture given by the second named author at the Abel Symposium in Trondheim, Norway, in July 2013.

研究の動機と目的

• 任意の位相をもつ完全で適切に埋め込まれた零ホロモルフィック曲線の構成により、ℂ³ における零ホロモルフィック曲線のコンフォーマル・カラビ＝ヤウ問題を解決すること。
• 最小曲面論における長年の未解決問題に対処するため、ℂ³ における有界で完全な埋め込みを含む、零曲線理論の拡張を図ること。
• ℂ³ における零曲線のランゲ・メルゲレヤン型近似定理を確立することにより、所望の幾何学的および位相的性質をもつ零曲線の構成を可能にすること。
• 結果を ℝ³ における最小曲面および ℍ³ における平均曲率が1の曲面（Bryant 表面）に応用し、複素解析と微分幾何学を結びつけること。
• 非定数の有界調和関数をもつ任意の開リーマン面は、ℝ³ への完全なコンフォーマル最小埋め込みをもつことを証明すること。これは以前の結果を一般化する。

提案手法

• ℂ³ における零曲線のランゲ・メルゲレヤン型定理を用いて、零二次曲面 𝔸* = {z ∈ ℂ³ : z₁² + z₂² + z₃² = 0, z ≠ 0} へのホロモルフィック写像の近似を行う。
• t ∈ B ⊂ ℂ^N をパrameterとする、写像 fₜ: M → 𝔸* のホロモルフィックスプライを用い、t = 0 における周期写像 𝒫(fₜ) が正則的であることで、周期の消滅を保証する。
• リーマン＝ヒルベルト境界値問題の技法を用いて、境界付近の零円板を変形し、零性を保ちつつ、第3成分の C⁰ 範囲を制御する。
• 小さな境界隣接領域の円板に対して、交互に変形を行うプロセスを用い、直交する零方向（例：V₁ = (1, i, 0), V₂ = (1, -i, 0)）に沿って、第3成分の摂動を最小限に抑えながら変形する。
• 滑らかなスプライのグルーピング法を用いて、境界付きリーマン面 M 上の局所的零曲線変形を貼り合わせ、グローバルな正則性と周期の消滅を保証する。
• 積分 G(z) = F(p) + ∫ₚᶻ gθ を用いて、グローバルな零曲線 G: M̄ → ℂ³ を構成する。ここで g: M̄ → 𝔸* は周期が消えるものとする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の位相と有界な像をもつ完全で適切に埋め込まれた零ホロモルフィック曲線が ℂ³ に存在するか？
• RQ2 ℝ³ における最小曲面のカラビ＝ヤウ問題は、ℂ³ における零曲線を用いて複素幾何の枠組みへと拡張可能か？
• RQ3 零条件を保ちつつ、零曲線の近似技法を用いて ℂ³ における完全で有界な零曲線を構成可能か？
• RQ4 境界付きリーマン面におけるスプライの変形と正則的周期写像を用いて、零曲線の周期問題を解けるか？
• RQ5 リーマン面上に有界調和関数が存在するのと、ℝ³ への完全で有界な最小埋め込みの存在との間にどのような関係があるか？

主な発見

• 任意の開で境界付きリーマン面 M に対して、ℂ³ の任意の凸領域に含まれるような、完全で適切に埋め込まれた零ホロモルフィック曲線 F: M̄ → ℂ³ が構成される。
• ℂ³ における完全で有界な零曲線の存在が証明され、Martín, Umehara, and Yamada が提起した問いに答え、コンフォーマル・カラビ＝ヤウ問題の重要なケースを解決する。
• この構成は、周期が消えるホロモルフィック写像の ℝ³ における零二次曲面 𝔸* への近似を可能にするランゲ・メルゲレヤン型定理に依拠している。
• この手法により、任意の位相をもつ ℝ³ における完全で有界な最小曲面の構成が可能となり、Nadirashvili の結果が任意の位相へと拡張される。
• 非定数の有界調和関数をもつ任意の開リーマン面は、ℝ³ への完全なコンフォーマル最小埋め込みをもつことが示される。
• 直交する零方向への交互な変形と、第3成分の C⁰ 摂動を制御することで、有界な第3座標をもつ適切な零曲線への収束が得られる。