[論文レビュー] Number of moduli of irreducible families of plane curves with nodes and cusps

Concettina Galati|ArXiv.org|Apr 4, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ノードおよびカスプをもつ平面曲線の既約族のモジュライ数を調査し、その族が期待されるモジュライ数に達するための条件を確立する。ブリル-ノイター理論および変形論的手法を用いて、ブリル-ノイター数 ρ ≤ 0 であっても、有限で期待されるモジュライ数を持つ族の具体的な例を構成し、一般型の場合を越えて既知の結果を拡張する。

ABSTRACT

Consider the family S of irreducible plane curves of degree n with d nodes and k cusps as singularities. Let W be an irreducible component of S. We consider the natural rational map from W to the moduli space of curves of genus g=(n-1)(n-2)/2-d-k. We define the "number of moduli of W" as the dimension of the image of W with respect to this map. If W has the expected dimension equal to 3n+g-1-k, then the number of moduli of W is at most equal to the min(3g-3, 3g-3+ρ-k), dove ρis the Brill-Neother number of the linear series of degree n and dimension 2 on a smooth curve of genus g. We say that W has the expected number of moduli if the equality holds. In this paper we construct examples of families of irreducible plane curves with nodes and cusps as singularities having expected number of moduli and with non-positive Brill-Noether number.

研究の動機と目的

• ノードおよびカスプをもつ平面曲線の既約族のモジュライ数を特定すること。
• その族が、モジュライ写像 M_g への像の次元によって定義される期待されるモジュライ数に達する条件を特徴づけること。
• ブリル-ノイター数 ρ が非正である場合のモジュライ数の有限性に関する既知の結果を拡張すること。
• 特に k ≤ 6 および ρ ≤ 0 の場合に、有限で期待されるモジュライ数を持つような族の具体的な例を構成すること。
• 劣化および部分正規化におけるモジュライ写像の振る舞いを解析すること、特に有理尾と線型系との関係において。

提案手法

• モジュライ写像 Π_Σ: Σ ⇢ M_g を用いて、モジュライ数を dim(Π_Σ(Σ)) として定義する。
• 変形論および等ジェネリック族を用いて、正規化を通じて特異曲線の幾何と滑らか曲線の幾何を関連付ける。
• ブリル-ノイター数 ρ = 3n - 2g - 6 を用いて、特に ρ ≤ 0 の場合にモジュライ数の上限を定める。
• セルネージェィおよび古典的代数幾何学の結果を適用して、曲線上の線型系の存在および次元を制御する。
• 次数 n および genus g における帰納法を用いて、命題 4.1 の仮定を満たす族を構成する。
• 部分正規化および有理尾を分析して、モジュライ写像のファイバー次元を計算し、特に重要なケースで dim(F⁻¹([C])) = 5 を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 d 個のノードおよびk 個のカスプをもつ平面曲線の既約族が、期待されるモジュライ数に達する条件は何か？
• RQ2 ブリル-ノイター数 ρ ≤ 0 であっても、有限で期待されるモジュライ数を持つ族は存在するか？
• RQ3 特に有理尾が接続された場合に、モジュライ写像は劣化においてどのように振る舞うか？
• RQ4 ρ ≤ 0 の一般の曲線 [C] ∈ M_{(3n-7)/2} に対して、モジュライ写像のファイバー次元は何か？
• RQ5 k ≤ 6 であっても、ρ ≤ 0 の場合に期待されるモジュライ数を達成できるか？

主な発見

• 本稿は、ブリル-ノイター数 ρ ≤ 0 であっても、ノードおよびカスプをもつ平面曲線の既約族で、期待されるモジュライ数を持つ具体的な例を構成する。
• k ≤ 6 および ρ ≤ 0 の場合に、Σⁿ_{k,d} が期待されるモジュライ数を持つ非空な既約成分を少なくとも1つもつことを証明する。
• 期待される次元 3n + g - 1 - k が達成されたとき、dim(Π_Σ(Σ)) = min(dim(M_g), dim(M_g) + ρ - k) が等号で成り立つことを示す。
• 一般の曲線 [C] ∈ M_{(3n-7)/2} に対して、モジュライ写像のファイバー次元が 5 に等しいことが計算され、次元のカウントに寄与する。
• 帰納法および劣化技術を用いて、dim(Π_Σ(Σ)) ≥ 3(3(n+2) - 7)/2 - 3 が成り立つことを確立し、期待される増加を確認する。
• セルネージェィらの以前の研究を拡張し、一般のモジュライ挙動がブリル-ノイター正でない場合にも生じうることを示す。