[論文レビュー] Numerical analysis of a full discretization for stochastic Cahn--Hilliard equation driven by additive noise

Jianbo Cui, Jialin Hong+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 16被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、空間方向にスペクトルガレルキン法、時間方向に加速付き陰的エイラースキームを用いて、空間-時間ホワイトノイズ駆動の確率的カーン＝ヒルヤール方程式の完全離散化を提示する。半群理論、補間不等式、鋭い正則性推定を組み合わせることで、負のソボレフ空間における最適な強い収束速度を確立し、$L^p(\Omega; H)$ノルムにおいて $\mathcal{O}(\delta t + \lambda_N^{-\gamma/2})$ の収束速度を達成する。

ABSTRACT

In this article, we consider the stochastic Cahn--Hilliard equation driven by space-time white noise. We discretize this equation by using a spatial spectral Galerkin method and a temporal accelerated implicit Euler method. The optimal regularity properties and uniform moment bounds of the exact and numerical solutions are shown. Then we prove that the proposed numerical method is strongly convergent with the sharp convergence rate in a negative Sobolev space. By using an interpolation approach, we deduce the spatial optimal convergence rate and the temporal super-convergence rate of the proposed numerical method in strong convergence sense. To the best of our knowledge, this is the first result on the strong convergence rates of numerical methods for the stochastic Cahn--Hilliard equation driven by space-time white noise. This interpolation approach is also applied to the general noise and high dimension cases, and strong convergence rate results of the proposed scheme are given.

研究の動機と目的

• 空間-時間ホワイトノイズ駆動の確率的カーン＝ヒルヤール方程式の完全離散化における強い収束速度解析のギャップを埋めること。
• 特に負のソボレフ空間において、正確解および数値解の強い意味での最適な正則性推定を確立すること。
• スペクトルガレルキン空間近似と加速付き陰的エイラー時間離散化を組み合わせた完全離散化の鋭い強い収束誤差推定を導出すること。
• 初期データに最小限の正則性仮定を置いた場合の $L^p(\Omega; H)$ ノルムにおける収束速度を示すこと。

提案手法

• ノイマンラプラシアンの有限次元固有空間への射影 $P^N$ を用いた空間方向のスペクトルガレルキン法による離散化。
• 剛性のある非線形項を扱い、安定性を保証するための加速付き陰的エイラースキームを用いた時間離散化。
• 解作用素の滑らかさの性質を解析し、正則性推定を導出するために半群理論を用いる。
• ソボレフ空間間の補間不等式を用いて、負のソボレフノルムにおける収束と物理的空間 $H = L^2$ の間のギャップを埋める。
• カーン＝ヒルヤール方程式の勾配流れ構造を活用し、強い収束問題を $\mathbb{H}^{-1}$ 空間に還元する。
• 元の方程式と確率的PDEおよび確率的コンボリューション $Z(t)$ を含む系との同値性を用いて、鋭い誤差上限を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間-時間ホワイトノイズ駆動の確率的カーン＝ヒルヤール方程式の完全離散化における最適な強い収束速度は何か？
• RQ2 標準的な $L^2$ 空間ではなく、負のソボレフ空間で問題を分析することで、収束速度を向上させられるか？
• RQ3 正確解および数値解の正則性特性は、強い意味での収束速度にどのように影響するか？
• RQ4 空間方向のスペクトルガレルキン近似と時間方向の加速付き陰的エイラースキームの間には、最適収束を達成するためにどのような相互作用があるか？
• RQ5 正則性が制限される場合でも、補間を用いて $L^p(\Omega; H)$ における収束速度を回復できるか？

主な発見

• 初期条件に $(I - \mathbb{L})X_0 \in \mathbb{H}^\gamma$ の仮定の下で、正確解 $X(t)$ と数値解 $X^N_k$ は $\gamma \in (0, \frac{3}{2})$ に対して $\mathbb{H}^\gamma$ で最適な正則性推定を満たす。
• 空間方向のスペクトルガレルキン法は、$L^p(\Omega; H)$ ノルムにおいて最適な収束速度 $\mathcal{O}(\lambda_N^{-\gamma/2})$ を達成する。ここで $\lambda_N$ はノイマンラプラシアンの $N$ 番目の固有値である。
• 加速付き陰的エイラースキームを用いた時間離散化により、時間方向の収束速度は $\mathcal{O}(\delta t)$ となる。ここで $\delta t$ は時間ステップサイズである。
• 完全離散化は、$p \geq 1$ に対して $L^p(\Omega; H)$ ノルムにおいて、組み合わせた収束速度 $\mathcal{O}(\delta t + \lambda_N^{-\gamma/2})$ を達成する。
• 収束解析は負のソボレフ空間 $\mathbb{H}^{-1}$ で行われ、半群の滑らかさと補間技術を用いて鋭い誤差推定が導出された。
• 結果は鋭く、非グローバルリプシッツ性を有する場合、特に空間-時間ホワイトノイズ駆動のケースにおいて、先行研究を拡張している。