[論文レビュー] Numerical analysis of a nonlinear free-energy diminishing Discrete Duality Finite Volume scheme for convection diffusion equations

Clément Cancès, Claire Chainais-Hillairet+1 more|arXiv (Cornell University)|May 30, 2017

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 49被引用数 26

ひとこと要約

本稿では、一般メッシュ上での非線形離散双対有限体積（DDFV）スキームを、対流拡散方程式に提案し、離散的なエネルギー散逸関係を保存することで、連続問題と同等の長期的挙動を保証する。このスキームは、非線形形式に再定式化されたフラックスを用いることで、一般メッシュ上でも自由エネルギーを減少させる性質を維持する。コンパクトネスの議論を用いて弱解への収束を証明し、数値結果により相対エネルギーの指数的減衰が確認された。

ABSTRACT

We propose a nonlinear Discrete Duality Finite Volume scheme to approximate the solutions of drift diffusion equations. The scheme is built to preserve at the discrete level even on severely distorted meshes the energy / energy dissipation relation. This relation is of paramount importance to capture the long-time behavior of the problem in an accurate way. To enforce it, the linear convection diffusion equation is rewritten in a nonlinear form before being discretized. We establish the existence of positive solutions to the scheme. Based on compactness arguments, the convergence of the approximate solution towards a weak solution is established. Finally, we provide numerical evidences of the good behavior of the scheme when the discretization parameters tend to 0 and when time goes to infinity.

研究の動機と目的

• 異方性対流拡散方程式に対して、離散レベルでエネルギー散逸関係を保存する有限体積スキームを開発すること。
• 一般メッシュおよび歪んだメッシュ上でも、連続問題の長期的挙動（平衡への指数的減衰を含む）を保持するようにスキームを保証すること。
• 古典的なScharfetter-Gummelスキームの制限を克服し、二点フラックス近似を超えるエネルギー安定スキームの適用範囲を拡大すること。
• コンパクトネスの議論を用いて、離散解が弱解に収束することを確立すること。
• 最適収束率および時間における相対エネルギーの指数的減衰の数値的証拠を提供すること。

提案手法

• 対流拡散方程式を非線形フラックス形式に再定式化する：$\mathbf{J} = -u\boldsymbol{\Lambda}\nabla(\log u + V)$ により、離散的エネルギー保存が可能になる。
• 離散双対有限体積（DDFV）フレームワークを採用し、主メッシュと双対メッシュを用いて、異方性拡散および対流を扱う。
• 離散エントロピー構造を構築することで、連続的なエネルギー散逸関係を模倣し、自由エネルギーを減少させる性質を強制する。
• 固定点の議論および離散勾配とフラックスの性質を用いて、正の離散解の存在を証明する。
• メッシュおよび時間ステップがゼロに近づく際の離散解の列にコンパクトネス技法を適用することで、弱解への収束を確立する。
• 離散相対エネルギー $\mathbb{E}_{\mathcal{T}}^n - \mathbb{E}_{\mathcal{T}}^\infty$ を用いて、長期的挙動をモニタリングし、指数的減衰を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般メッシュ上での異方性対流拡散方程式に対して、非線形DDFVスキームを構築し、離散的エネルギー散逸関係を保存できるか？
• RQ2 提案されたスキームは、連続問題の長期的挙動（平衡への指数的減衰を含む）を保持するか？
• RQ3 離散パラメータがゼロに近づく際、離散解が正であることが保証され、弱解に収束するか？
• RQ4 歪んだメッシュ上でのスキームの空間および時間における収束率はどの程度か？
• RQ5 スキームは長期的極限において相対エネルギーの指数的減衰をどの程度正確に再現できるか？

主な発見

• スキームは離散的エネルギーが時間とともに減少することを保証し、離散レベルでも基本的なエネルギー散逸関係を保存する。
• 数値結果により、最適収束率が得られた：解に関して空間方向で2次、時間方向で1.5〜2次（メッシュの種別に応じて）。
• Kershawメッシュおよび四角形メッシュ上では、相対エネルギーが時間とともに指数的に減少し、正しい長期的ダイナミクスを再現していることが確認された。
• すべてのシミュレーションにおいて、離散解の最小値が正のままであり、物理的正値性の良好な保存が示された。
• 離散勾配およびエントロピーに関する一様バウンディングを用いたコンパクトネスの議論により、離散解が弱解に収束することを厳密に証明した。
• トレース不等式（定理A.1）により、境界における離散トレースの安定性が保証され、収束解析を支援した。