[論文レビュー] Numerical analysis of the planewave discretization of orbital-free and Kohn-Sham models Part I: The Thomas-Fermi-von Weizacker model

Éric Cancès, Rachida Chakir+1 more|ArXiv.org|Sep 8, 2009

Acoustic Wave Resonator Technologies参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、密度汎関数理論における厳密に凸な軌道なしモデルである周期的Thomas-Fermi-von Weizsäcker（TFW）モデルの平面波離散化に対する事前誤差推定を提供する。スペクトルおよび擬スペクトルフーリエ法の両方において、Sobolevノルムにおける最適収束率を確立し、エネルギー截取とグリッド解像度を増加させると、離散最小化子が連続解に最適の順序で収束することを証明する。

ABSTRACT

We provide {\it a priori} error estimates for the spectral and pseudospectral Fourier (also called planewave) discretizations of the periodic Thomas-Fermi-von Weizsäcker (TFW) model and of the Kohn-Sham model, within the local density approximation (LDA). These models allow to compute approximations of the ground state energy and density of molecular systems in the condensed phase. The TFW model is stricly convex with respect to the electronic density, and allows for a comprehensive analysis (Part I). This is not the case for the Kohn-Sham LDA model, for which the uniqueness of the ground state electronic density is not guaranteed. Under a coercivity assumption on the second order optimality condition, we prove in Part II that for large enough energy cut-offs, the discretized Kohn-Sham LDA problem has a minimizer in the vicinity of any Kohn-Sham ground state, and that this minimizer is unique up to unitary transform. We then derive optimal {\it a priori} error estimates for both the spectral and the pseudospectral discretization methods.

研究の動機と目的

• 軌道なし密度汎関数理論の基盤的モデルである周期的Thomas-Fermi-von Weizsäcker（TFW）モデルの平面波離散化に対する厳密な事前誤差推定を提供すること。
• Sobolev型ノルム下でのスペクトルおよび擬スペクトル（平面波）離散化法の収束特性を分析すること。
• エネルギー截取とグリッド解像度を増加させる際、TFWエネルギー汎関数の離散最小化子の最適収束率を確立すること。
• より複雑なKohn-Shamモデル（局所密度近似（LDA）下）の解析のための数学的基盤を築くこと。これはPart IIで扱われる。

提案手法

• 単位胞 Γ = [0, L)³ と双対格子 R* = (2π/L)ℤ³ を用いて、TFWモデルを周期的設定で定式化する。
• 波数ベクトル k ∈ R* を持つ平面波基底関数 e_k(x) = |Γ|⁻¹/² e^{ik·x} を用い、L²_#(Γ, ℂ) の正規直交基底を形成する。
• エネルギー截取 N_c までのフーリエモードを持つ実数値関数からなる有限次元部分空間 V_{N_c} ⊂ H^s_#(Γ) を導入する。
• 射影作用素 Π_{N_c} を用いて V_{N_c} 内の最良近似を定義し、Sobolev埋蔵と逆不等式を用いて誤差評価を導出する。
• 直交グリッド G_{N_g} = (L/N_g)ℤ³ における離散フーリエ変換（FFT）を用いて積分を近似し、TFW汎関数の非線形性を扱う。
• 全誤差を截取誤差（N_c）と数値積分誤差（N_g）に分解し、連続解と離散解の差の L² および H¹ ノルムに対する境界を用いて誤差推定を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SobolevノルムにおけるTFWモデルの平面波離散化の最適収束率は何か？
• RQ2 エネルギー截取とグリッド解像度を増加させる際、スペクトルおよび擬スペクトル（FFTに基づく）平面波法の誤差減衰はどのように比較できるか？
• RQ3 離散最小化子 u_{N_c,N_g} が H²_#(Γ) 内で真の最小化子に収束する条件は何か？
• RQ4 解の正則性と離散化パラメータ N_c および N_g に依存する明示的定数を用いて、収束を定量的に評価できるか？
• RQ5 ヘッセ行列の強凸性が離散解の一意性と収束を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 適切な正則性仮定の下で、連続解とその平面波近似との間の H¹_#(Γ) ノルムにおける誤差は、O(N_c^{-1/2} N_g^{-7/2}) のオーダーで減少する。
• N_c → ∞ かつ N_g ≥ 4N_c + 1 のとき、離散最小化子 u_{N_c,N_g} は真の解 u に H²_#(Γ) で収束し、これは ℝ³ 上の L^∞(ℝ³) での収束を意味する。
• 十分に大きな N_c に対して、離散解 u_{N_c,N_g} はゼロから一様に離れているため、H^{m+1/2−ε}_#(Γ) 内の非線形項が一様に有界であることが保証される。
• エネルギー汎関数 E^{TFW}_{N_g} の収束率は最適であり、差 E^{TFW}_{N_g}(v_{N_c}) - E^{TFW}_{N_g}(u_{N_c,N_g}) は H¹_# ノルムにおける正定値二次形式によって下から抑えられる。
• エネルギー汎関数の離散ヘッセ行列の強凸性により、十分に大きな N_c および N_g ≥ 4N_c + 1 のとき、離散最小化子 u_{N_c,N_g} は一意である。
• 離散固有値 λ_{N_c,N_g} が連続固有値 λ に最適の順序 O(N_c^{-1/2} N_g^{-m}) （m ≥ 4）で収束することが確立された。