[論文レビュー] Numerical approximation of BSDEs using local polynomial drivers and branching processes

Bruno Bouchard, Xiaolu Tan+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、一般のリプシッツ型ドライバーをもつ後向き stochastic 微分方程式（BSDE）を解くための新しい数値スキームを提案する。ドライバーの局所的多項式近似と分岐diffusion過程を組み合わせた手法であり、パス依存的な局所的多項式を用いたピカール反復を採用することで、グローバルな多項式近似に伴う有限時間爆発問題を回避し、任意の時間スケールで収束を達成する。また、条件付き期待値推定を必要とせず、純粋な前向きモンテカルロシミュレーションによる分岐過程のシミュレーションにより、後向き計算を回避する。

ABSTRACT

We propose a new numerical scheme for Backward Stochastic Differential Equations based on branching processes. We approximate an arbitrary (Lipschitz) driver by local polynomials and then use a Picard iteration scheme. Each step of the Picard iteration can be solved by using a representation in terms of branching diffusion systems, thus avoiding the need for a fine time discretization. In contrast to the previous literature on the numerical resolution of BSDEs based on branching processes, we prove the convergence of our numerical scheme without limitation on the time horizon. Numerical simulations are provided to illustrate the performance of the algorithm.

研究の動機と目的

• 条件付き期待値推定を必要としない、一般のリプシッツ型ドライバーをもつBSDEのための数値スキームの開発。
• グローバルな多項式近似に起因する有限時間爆発問題を回避するため、局所的多項式近似を用いることで、多項式近似の本質的欠陥を克服すること。
• 従来の分岐過程に基づく手法が短時間間隔に限定されるのに対し、任意の時間スケールで数値スキームの収束を保証すること。
• 後向き再帰や回帰に基づく条件付き期待値推定を回避する前向きモンテカルロシミュレーションによる分岐過程のシミュレーションを用いて、計算を効率化すること。
• 理論的裏付けが明確で、マルコフ的枠組みに自然に拡張可能な、マルコフ的でない状況にも適用可能なフレームワークの構築。

提案手法

• 状態空間の分割上に定義された局所的多項式を用いて、BSDEの一般のリプシッツ型ドライバーを近似する。
• 各反復ステップで、現在の解の空間的位置に基づいて固定された局所的多項式近似を用いるピカール反復スキームを適用する。
• 各ピカール反復ステップの解を、KPP型PDEの確率的表現を活用した分岐diffusion系によって表現する。
• Y成分の推定に、分岐過程の純粋な前向きモンテカルロシミュレーションを用いることで、後向き計算を回避する。
• 局所的多項式近似誤差を制御し、ピカール反復における収縮性を用いて収束を保証する。解のホルダー連続性およびリプシッツ連続性の境界も明示的に導出する。
• 固定時間刻みを用いた時間離散化を行い、SDEおよびBSDE解の安定性推定とモーメント制御を用いて誤差境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 BSDEのドライバーに対する局所的多項式近似は、グローバルな多項式近似が示す有限時間爆発を回避し、任意の時間スケールで収束を保証できるか？
• RQ2 局所的多項式ドライバーと分岐過程を組み合わせることで、一般のリプシッツ型ドライバーをもつBSDEに対して、条件付き期待値推定を不要とする数値スキームを構築可能か？
• RQ3 ピカール反復スキームを、各ステップでの解の経路に沿った高精度な推定を必要とせずに、空間的に変化する局所的多項式に適応可能か？
• RQ4 局所的多項式ドライバーを用いた近似BSDEの解の正則性および安定性特性はどのように規定されるか？
• RQ5 本手法は、従来のPDEベースや回帰ベースのBSDE数値スキームと比較して、収束性および計算効率において優れているか？

主な発見

• 提案手法は、従来の分岐過程ベースの手法が短時間間隔に限定されるのに対し、一般のリプシッツ型ドライバーをもつBSDEに対して、任意の時間スケールで収束を達成する。
• 局所的多項式ドライバーの使用により、2次以上のグローバル多項式近似が引き起こす有限時間爆発が回避される。
• 分岐過程の前向きシミュレーションに依存することで、条件付き期待値推定を回避し、実装を簡素化するとともに計算コストを低減する。
• 収縮性を用いた議論により、解のホルダー連続性およびリプシッツ連続性が制御され、価値関数のリプシッツ定数がドライバーおよびSDE係数の関数として明示的な境界で与えられる。
• 数値実験により、アルゴリズムの性能と安定性が確認され、ファイナンスおよび確率的制御分野における実用的応用の可能性が示された。
• 理論的枠組みはマルコフ的および非マルコフ的状況の両方で有効であり、すべての議論が自明に後者に拡張可能である。