[論文レビュー] Numerical approximation of general Lipschitz BSDEs with branching processes

Bruno Bouchard, Xiaolu Tan+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、リプシッツ連続なドライバー関数に依存するバックワード確率微分方程式（BSDE）を解くための分岐過程に基づくモンテカルロアルゴリズムを、解の勾配に依存するドライバーに拡張する。顔上げ手順を導入してZ成分を制御し、ピカール反復を用いた局所的多項式近似により、時間区間制限なしにグローバル収束を達成した。数値シミュレーションにより有効性が検証された。

ABSTRACT

We extend the branching process based numerical algorithm of Bouchard et al. [3], that is dedicated to semilinear PDEs (or BSDEs) with Lipschitz nonlinearity, to the case where the nonlinearity involves the gradient of the solution. As in [3], this requires a localization procedure that uses a priori estimates on the true solution, so as to ensure the well-posedness of the involved Picard iteration scheme, and the global convergence of the algorithm. When, the nonlinearity depends on the gradient, the later needs to be controlled as well. This is done by using a face-lifting procedure. Convergence of our algorithm is proved without any limitation on the time horizon. We also provide numerical simulations to illustrate the performance of the algorithm.

研究の動機と目的

• ドライバー関数f(x,y,z)がZ成分（解の勾配）に依存する場合に、従来Zに依存しないドライバーに限られていた分岐過程ベースのBSDE数値アルゴリズムを拡張すること。
• ドライバーが勾配に依存する場合の適切な定義と収束の確保に挑戦し、離散時間ステップで顔上げ手順を導入することで、Z成分の制御と安定性を確保すること。
• 時間区間の制限なしに、任意の時間スケールでアルゴリズムのグローバル収束を維持すること、特に多項式ドライバーを伴うBSDEが爆発する可能性がある場合でも同様に有効であること。
• 古典的後退スキームのコストを回避する、数値的に安定な純前向きモンテカルロ手法を提供すること。特に高次元設定において優位である。

提案手法

• コンパクト領域上で(x,y,z)に関する多項式近似により、一般のリプシッツドライバー関数f(x,y,z)を局所的に近似し、分岐過程手法の適用を可能にする。
• 一般のBSDEを多項式ドライバーを持つBSDEの系列に還元するために、ピカール反復スキームを適用する。この系列は分岐過程に基づくシミュレーションに適している。
• 特定の時間ステップでZ成分を制御するため、顔上げ手順を導入し、それを有界なバージョンに置き換えることで、爆発を防ぎ、安定性を確保する。
• 真の解およびその勾配に関する事前推定を用いて、局所化および顔上げの時間ステップを決定し、反復の適切な定義を保証する。
• 各ピカール段階において、多項式近似されたBSDEの解をシミュレートするため、分岐過程を用いた純前向きモンテカルロアルゴリズムを構築する。
• BDGおよびグローバル型不等式を用いて導出された一様可積分性およびモーメントバウンドに依拠し、時間区間制限なしにリプシッツ条件のもとでスキームのグローバル収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分岐過程ベースのモンテカルロアルゴリズムは、解の勾配（Z成分）に依存するドライバーに対しても拡張可能か？（従来はZに依存しないドライバーに限られていた。）
• RQ2 Z成分のパスワイズ性質が零集合までしか定義されないため、直接切断できない状況において、Z成分はどのように安定化されるか？
• RQ3 ドライバーが勾配に依存する場合、顔上げ手順がアルゴリズムの適切な定義と収束を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 多項式近似されたBSDEが爆発する可能性がある場合でも、提案手法は任意の時間スケールでグローバル収束を維持できるか？
• RQ5 計算コストと精度の観点から、古典的後退スキームと比較して、このアルゴリズムの性能はどの程度か？

主な発見

• 提案手法は、時間区間制限なしに、一般のリプシッツBSDE（勾配依存ドライバー）に対してグローバル収束を達成する。
• 顔上げ手順により、離散時間ステップでZ成分が有界なバージョンに置き換えられ、安定性およびピカール反復の適切な定義が保証される。
• ドライバーの局所的多項式近似と事前推定を用いて、局所化および顔上げの時間ステップを定義し、解成分の一様可積分性を保証する。
• 数値的シミュレーションにより、アルゴリズムの性能と安定性が確認され、高次元問題への実用的妥当性が裏付けられた。
• 収束証明は、BDGおよびグローバル型不等式から導かれる定数を用いたモーメントバウンドと一様可積分性に基づくものであり、ドライバーのリプシッツ定数および拡散行列の性質に明示的な依存関係を持つ。
• 純前向きモンテカルロ手法として計算が効率的であり、古典的スキームの後退再帰を回避する。特にドライバーが低次の多項式でよく近似できる場合に特に適している。