[論文レビュー] Numerical Computation of the Stable and Unstable Manifolds of Invariant Tori

Derin B. Wysham, James D. Meiss|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2005

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 26被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非可換回転ベクトルを有する微分同相写像における不変トーラスの安定・不安定多様体を計算する反復的数値手法を提示する。線形化された力学系を一般化固有値問題に再定式化することで、1次近似の不変部分空間を効率的に近似し、体積保存型写像におけるホモクラインおよびヘテロクライン分岐のメルニコフ理論に基づく予測を確認した。

ABSTRACT

We develop an iterative technique for computing the unstable and stable eigenfunctions of the invariant tori of diffeomorphisms. Using the approach of Jorba, the linearized equations are rewritten as a generalized eigenvalue problem. Casting the system in this light allows us to take advantage of the speed of eigenvalue solvers and create an efficient method for finding the first order approximations to the invariant manifolds of the torus. We present a numerical scheme based on the power method that can be used to determine the behavior normal to such tori, and give some examples of the application of the method. We confirm the qualitative conclusions of the Melnikov calculations of Lomelí and Meiss (2003) for a volume-preserving mapping.

研究の動機と目的

• 微分同相写像における不変トーラスの安定・不安定多様体を高効率に計算するための効率的数値アルゴリズムの開発。
• 固定点を超えた高次元の準周期的不変トーラスへの不変多様体の反復的手法の拡張。
• 非可換回転ベクトルおよび通常双曲的トーラスを有する系に対して、計算的に実行可能なアプローチの提供。
• ヘテロクライン交叉に関するメルニコフ理論からの解析的予測と、本手法の検証。

提案手法

• 本手法は、Jorbaの手法を用いて、不変トーラス上での線形化された力学系を一般化固有値問題に再定式化する。
• スケイプ積系として定義されるコサイクルの上での支配的固有関数を反復的に計算するために、パワー法を適用する。
• 還元可能な場合に、周期的行列系を定数行列形式に変換する座標変換を用いる。
• 線形化系の固有空間を通じて、不変多様体の1次近似を計算する。
• 1次元固有空間に対しては効果的に処理可能であり、中間モードには反復的デフラッションを用いるが、数値的不安定性が指摘されている。
• 本手法は体積保存型写像に適用され、結果はメルニコフ関数の等高線と照合されて検証された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換回転ベクトルを有する微分同相写像における不変トーラスの安定・不安定多様体を、高い効率でどのように数値的に計算できるか？
• RQ2 一般化固有値問題は、準周期的スケイプ積系の不変部分空間を近似する上で、どのような役割を果たすか？
• RQ3 パワー法のような反復的手法は、還元可能な準周期的系の固有関数を計算するためにどのように適合可能か？
• RQ4 数値的結果は、ヘテロクライン交叉に関するメルニコフ理論からの解析的予測とどのように一致するか？
• RQ5 回転ベクトルが変化する際、安定・不安定多様体の交差曲線におけるホモロジー的分岐はどのように生じるか？

主な発見

• パワー法に基づく反復スキームは、非可換回転ベクトルを有する不変トーラスの安定・不安定多様体の1次近似を、成功裏に計算した。
• 本手法は、体積保存型写像におけるヘテロクライン交叉の存在とホモロジー型に関するLomelíとMeiss（2003）の予測を、定性的に確認した。
• 回転ベクトルが1/3共振に近づくに従い、(1,0)から(3,1)へのホモロジー的分岐が観測された。これは、メルニコフ関数解析と整合的であった。
• メルニコフ関数の等高線プロットでは、ゼロ等高線が観測された交差曲線と一致しており、数値的結果の妥当性が裏付けられた。
• 本手法は1次元固有空間に対しては効果的であるが、多重固有値や複素固有値を扱う際に数値的安定性の課題が生じており、今後の研究で解決を予定している。
• 一般化固有値ソルバーの使用により、既存の高性能線形代数ライブラリを活用することで、計算が著しく効率化された。