[論文レビュー] Numerical investigation on weak Galerkin finite elements

Xiu Ye, Shangyou Zhang|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2020

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、2階楕円問題に対する弱ガレルキン（WG）有限要素法の包括的な数値的検証を提示し、安定性、収束性、および超接近性を31の表にまとめた計算結果を用いて分析している。特定のWG要素、特に$(P_k(T), P_k(e), [P_{k+1}]^2)$および$(P_k(T), P_{k+1}(e), [P_{k+1}]^2)$が、長方形メッシュおよび三角形メッシュ上でのエネルギーノルムおよび$L^2$ノルムにおいて2次超接近性を示すことが明らかになった。安定化項を含まない定式化では、最適な収束性と向上したロバスト性が得られている。

ABSTRACT

The weak Galerkin (WG) finite element method is an effective and flexible general numerical technique for solving partial differential equations. The novel idea of weak Galerkin finite element methods is on the use of weak functions and their weak derivatives defined as distributions. Weak functions and weak derivatives can be approximated by polynomials with various degrees. Different combination of polynomial spaces generates different weak Galerkin finite elements. The purpose of this paper is to study stability, convergence and supercloseness of different WG elements by providing many numerical experiments recorded in 31 tables. These tables serve two purposes. First it provides a detail guide of the performance of different WG elements. Second, the information in the tables opens new research territory why some WG elements outperform others.

研究の動機と目的

• さまざまな弱ガレルキン有限要素法の定式化の安定性、収束性、および超接近性を体系的に評価すること。
• 多項式空間$(P_\ell(T), P_s(e), G_m(T))$のどの組み合わせが最適な収束率と向上した精度を達成するかを特定すること。
• 安定化項の有無が収束行動および計算複雑性に与える影響を調査すること。
• メッシュの種別と多項式次数に応じてWG要素を選択するための計算的ガイドとして機能する包括的な表（31表）を提供すること。
• 超接近性や不安定性といった数値的現象の理論的解釈が未解決であることに着目し、新たな研究分野を開拓すること。

提案手法

• 弱ガレルキン有限要素法は、弱関数$v = \{v_0, v_b\}$を用い、$v_0$を内部値、$v_b$を要素境界上のトレースとし、それぞれ多項式空間$P_\ell(T)$および$P_s(e)$で近似する。
• 弱微分$\nabla_w v$は変分的定式化により定義される：すべての$\mathbf{q} \in G_m(T)$に対して$(\nabla_w v, \mathbf{q})_T = -(v_0, \nabla \cdot \mathbf{q})_T + \langle v_b, \mathbf{q} \cdot \mathbf{n} \rangle_{\partial T}$であり、$G_m(T)$は通常$[P_m(T)]^d$または$RT_m(T)$として選ばれる。
• 2つの定式化が検討された：パラメータに依存しない安定化項$s(\cdot, \cdot)$を含む標準WGと、$m$の増加により安定化項を省いた安定化項なしWG。
• 数値実験は、さまざまな多項式の組み合わせを用いた三角形メッシュおよび長方形メッシュ上で実施され、エネルギーノルムおよび$L^2$ノルムにおける収束率が測定された。
• $P_k(T)$, $P_{k-1}(e)$, $P_k(T)$, $P_{k+1}(e)$, $RT_m(T)$などの異なる多項式次数$\ell$, $s$, $m$を有する要素が、31の詳細な表を通じて比較された。
• 分析は収束次数、超接近性（$O(h^{k+2})$として定義）および安定性に焦点を当てており、一部の組み合わせが予想を上回る収束率を達成していることが示されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2階楕円問題において、どの多項式空間の組み合わせ$(P_\ell(T), P_s(e), G_m(T))$がエネルギーノルムおよび$L^2$ノルムで最適な収束率を達成するか？
• RQ2 なぜ一部のWG要素、例えば$(P_k(T), P_k(e), [P_{k+1}]^2)$は、両ノルムにおいて2次超接近性を示すのに対し、他の要素（例：$(P_k(T), P_{k-1}(e), [P_{k+1}]^2)$）は収束性が悪いのか？
• RQ3 安定化項の有無が、三角形メッシュおよび長方形メッシュ上でのWG要素の収束行動およびロバスト性に与える影響は何か？
• RQ4 なぜ三角形メッシュ上でのWG要素$(P_k(T), P_{k-1}(e), [P_{k+1}]^2)$に観察される不安定性が生じるのか、そしてどのように是正できるか？
• RQ5 特定のWG要素で観察される超接近性は理論的に証明可能か？どのような条件下でこうした高精度が達成されるのか？

主な発見

• WG要素$(P_k(T), P_k(e), [P_{k+1}]^2)$は、長方形メッシュ上でのエネルギーノルムおよび$L^2$ノルムにおいて2次超接近性を示し、両ノルムで収束率$O(h^{k+2})$を達成する。
• WG要素$(P_k(T), P_{k+1}(e), [P_{k+1}]^2)$は、一般の三角形メッシュ上でもエネルギーノルムおよび$L^2$ノルムで$O(h^{k+2})$の超接近性を示し、[2]で理論的証明がなされている。
• 安定化項なしのWG法の定式化は、追加の安定化を要せず最適な収束性を達成し、実装を簡素化し、計算コストを低減する。
• WG要素$(P_k(T), P_{k-1}(e), [P_{k+1}]^2)$は、三角形メッシュ上では収束性が著しく悪い。エネルギーノルムでは$O(h^{k+1})$、$L^2$ノルムでは$O(h^{k+2})$の収束率であり、不安定性を示唆している。
• 要素$(P_k(T), P_{k-1}(e), RT_{k-1}(T))$は、三角形メッシュ上でのエネルギーノルムで$O(h^{k+2})$、$L^2$ノルムで$O(h^{k+3})$の収束率を達成しており、ラヴィアル・トーマス空間の導入により性能が向上していることが示唆される。
• 要素$(P_k(T), P_{k-1}(e), RT_k(T))$は、エネルギーノルムで$O(h^{k+1})$、$L^2$ノルムで$O(h^{k+2})$の収束率を示しており、高次のラヴィアル・トーマス空間が常に精度を向上させるわけではないことが示されている。