[論文レビュー] On stabilizer-free weak Galerkin finite element methods on polytopal meshes

Xiu Ye, Shangyou Zhang|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2019

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 18被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、多角形メッシュ上での2階楕円問題に対して、安定化項を含まない弱ガラーキン有限要素法を提案する。高次多項式を用いて弱勾配を計算することで、追加の安定化項が不要となる。この手法は、離散 $H^1$ 範数および $L^2$ 範数において最適収束率を達成し、多項式次数 $k \geq 1$ に対して誤差推定値が $O(h^{k+1})$ であることを証明する。三角形メッシュおよび多角形メッシュにおける数値実験により検証されている。

ABSTRACT

A stabilizing/penalty term is often used in finite element methods with discontinuous approximations to enforce connection of discontinuous functions across element boundaries. Removing stabilizers from discontinuous finite element methods will simplify the formulations and reduce programming complexity significantly. The goal of this paper is to introduce a stabilizer free weak Galerkin finite element method for second order elliptic equations on polytopal meshes in 2D or 3D. This new WG method keeps a simple symmetric positive definite form and can work on polygonal/polyheral meshes. Optimal order error estimates are established for the corresponding WG approximations in both a discrete $H^1$ norm and the $L^2$ norm. Numerical results are presented verifying the theorem.

研究の動機と目的

• 不安定化項を排除することで、不連続な近似に対する定式化を簡素化する。
• 一般の多角形メッシュ上で、剛性行列の対称性と正定値性を維持する。
• ペナルティ項や安定化項なしに、離散 $H^1$ および $L^2$ 範数において最適な誤差収束率を達成する。
• 数値的検証を通じて、三角形メッシュおよび多角形メッシュの両方において、手法の頑健性と精度を示す。

提案手法

• 本手法は、内部および境界における次数 $k$ の多項式近似を用いた弱ガラーキン有限要素空間 $V_h$ を採用する。
• 弱勾配 $\nabla_w$ は、より高い次数の多項式（次数 $j \geq k+1$）を用いて、離散的変分的意味で勾配を計算する。
• 離散的変分形式は $ (\nabla_w u_h, \nabla_w v) = (f, v) $ と定式化され、元のPDEの弱形式に類似している。
• 高次多項式による弱勾配近似により、一貫性と安定性を確保することで、安定化項を回避する。
• 誤差を測定するために、内部および境界のジャンプを組み合わせた離散 $H^1$-類似ノルム $|||\cdot|||$ が用いられる。
• 双対性の議論と正則性仮定を用いて、リッツ射影と補間を介して誤差推定値を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 安定化項なしの弱ガラーキン法は、多角形メッシュ上で最適収束を達成できるか？
• RQ2 弱勾配計算に高次多項式を用いることで、ペナルティ項の必要性が排除され、安定性と精度が保持されるか？
• RQ3 安定化項なしのWG法の離散 $H^1$ 範数および $L^2$ 範数における最適収束率は何か？
• RQ4 標準的な三角形要素と比較して、一般の多角形メッシュ上での手法の性能はいかがなっているか？
• RQ5 与えられた要素多項式次数 $k$ に対して、最適収束を保証するための弱勾配の最小必要次数は何か？

主な発見

• 多項式次数 $k \geq 1$ に対して、離散 $H^1$ 範数において最適な $O(h^{k+1})$ 収束が達成される。
• $L^2$ 範数においても最適な $O(h^{k+1})$ 収束が得られ、理論的分析および数値実験により確認された。
• 三角形メッシュおよび多角形メッシュにおける数値結果は、理論的予測と一致する収束率を示している：$P_1$ に対して $P_2$ の弱勾配を用いる場合1.98–2.00、$P_2$ に対して $P_3$ を用いる場合2.99–3.00 など。
• 12辺を持つ多角形要素に対しても、手法は安定かつ正確に保たれ、一般の多角形要素における頑健性を確認した。
• 高次弱勾配（$j = k+1$ 以上）を用いることで、安定化なしの定式化が可能になり、収束性に影響を与えない。
• 安定化項の欠如により、実装が簡素化され、プログラミングの複雑さが低減される一方で、最適な精度が維持される。