[論文レビュー] Numerical methods to compute a minimal realization of a port-Hamiltonian system

Karim Cherifi, Volker Mehrmann+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2019

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 48被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、時間領域入出力データから最小のポート・ハミルトニアン（pH）システム実現を計算するための3つの数値的手法を提案する。これらは補間、正則化、構造を保全するモデル還元に基づく。正の実平衡化削減（PRBT）手法は、計算効率と安定性において大規模システムに対して優れたスケーラビリティとロバストネスを示し、最小次数のpHモデルを高い精度で得られる。

ABSTRACT

Port-Hamiltonian (pH) systems are a very important modeling tool in almost all areas of systems and control, in particular in network based model of multi-physics multi-scale systems. They lead to remarkably robust models that can be easily interconnected. This paper discusses the derivation of pH models from time-domain input-output data. While a direct construction of pH models is still an open problem, we present three different indirect numerical methods for the realization of pH systems. The algorithms are implemented in MATLAB and their performance is illustrated via several numerical examples.

研究の動機と目的

• 第一原理モデルを経由せずに、時間領域入出力データから直接ポート・ハミルトニアン（pH）システム実現を構築するという未解決問題に取り組む。
• 被動性および構造的性質を保全する最小次数のpH実現を生成する、数値的にロバストでスケーラブルなアルゴリズムを開発する。
• 得られたモデルが、ガス輸送や電気ラダーのようなマルチフィジックス・マルチスケールネットワークを含む、制御工学分野の応用に適していることを保証する。
• 精度、計算時間、最小実現品質の観点から、各手法の性能を比較する。
• 物理的モデルが複雑すぎたり存在しないような複雑なシステム、例えばガスネットワークやケーブル駆動ロボットのデータ駆動型モデリングを可能にする。

提案手法

• 入出力データから初期の記述子系を導出するため、システム実現、補間、正則化を組み合わせた5段階の手順を適用する。
• 正の実平衡化削減（PRBT）を用いて、pH構造、被動性、正の実性を保全しつつ、システム次数を低減する。
• 与えられた記述子系に最も近いpH系を計算する最適化問題を定式化し、構造的制約（Jは反対称、Rは半正定値、W ≥ 0）が満たされるようにする。
• pH実現の前に、初期の記述子系の構造的および数値的整合性を保証するため、正則化を適用する。
• 構造を保全するモデル還元を用いて、特に最近接pHアルゴリズムにおいて最小のpHDAE系を達成する。
• MATLABですべての手法を実装し、例示的な数値例および2000次の大規模電気ラダーネットワークを用いて検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第一原理モデルを経由せずに、時間領域入出力データから最小のポート・ハミルトニアン実現を信頼性高く計算できるか？
• RQ2 精度、計算効率、最小実現への到達能力という観点から、異なる数値的手法はどのように比較できるか？
• RQ3 正の実平衡化削減（PRBT）手法は、システム次数を低減する際、pH構造をどの程度保全できるか？
• RQ4 最近接pH系アルゴリズムを大規模システムに対してロバストかつスケーラブルにできるか。その限界は何か？
• RQ5 実世界のシステム、例えばガスネットワークや電気ラダーに対して、データ駆動型pHモデリングをどの程度適用できるか？

主な発見

• PRBTに基づく手法は、2000次電気ラダーネットワークに対して、元の周波数応答を高い精度で保ちながら、次数22の最小次数pH実現を得た。
• 次数5の例示的例において、PRBT手法はS = 0.2204、N = 0のpH系を生成し、Bodeプロット比較により元の伝達関数と密接に一致した。
• 最近接pHDAEアルゴリズムは、Q ≠ Iの最小次数系を生成した。これは、この手法がpH構造を保ちつつ非単位質量行列をもたらす可能性を示している。
• 2000次ラダーネットワークに対して、単純な手法は3600秒以内に完了できず、大規模システムにおけるスケーラビリティが著しく低いことが示された。
• 最近接pHアルゴリズムは、ラダーネットワークに対して最短の計算時間（10.27秒）を記録したが、最小次数系を出力せず、追加のモデル還元が必要だった。
• PRBT手法は最も高い計算コスト（719.75秒）を要したが、特に大規模システムにおいて最もロバストかつ最小の実現を得た。