[論文レビュー] Numerical study of the transverse stability of NLS soliton solutions in several classes of NLS type equations

K. Roidot, Norbert J. Mauser|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2014

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 43被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、高精度スペクトル法およびフーリエ解析を用いて、2次元以上の摂動に対する1次元立方非線形シュレーディンガー（NLS）ソリトンの横方向安定性を数値的に調査している。結果として、双曲的2D NLSおよびDS II方程式において、局所的摂動の下でソリトンは分散によって不安定になることが判明した。一方、DS II方程式では局所的摂動の下では安定であり、すべてのモデルにおいて周期的摂動の下では不安定である。

ABSTRACT

Dispersive PDEs are important both in applications (wave phenomena e.g. in hy- drodynamics, nonlinear optics, plasma physics, Bose-Einstein condensates,...) and a mathematically very challenging class of partial differential equations, especially in the time dependent case. An important point with respect to applications is the stability of exact solutions like solitons. Whereas the linear or spectral stability can be addressed analytically in some situations, the proof of full nonlinear (in-)stability remains mostly an open question. In this paper, we numerically investi- gate the transverse (in-)stability of the solitonic solution to the one-dimensional cubic NLS equation, the well known isolated soliton, under the time evolution of several higher dimensional models, being admissible as a tranverse perturbation of the 1d cubic NLS. One of the recent work in this context [42] allowed to prove the instability of the soliton, under the flow of the classical (elliptic) 2d cubic NLS equation, for both localized or periodic perturbations. The characteristics of this instability stay however unknown. Is there a blow-up, dispersion..? We first illustrate how this instability occurs for the elliptic 2d cubic NLS equation and then show that the elliptic-elliptic Davey Stewartson system (a (2+1)-dimensional generalization of the cubic NLS equation) behaves as the former in this context. Then we investigate hyperbolic variants of the above models, for which no theory in this context is available. Namely we consider the hyperbolic 2d cubic NLS equation and the Davey-Stewartson II equations. For localized perturbations, the isolated soliton appears to be unstable for the former case, but seems to be orbitally stable for the latter. For periodic perturbations the soliton is found to be unstable for all transversally perturbed models considered.

研究の動機と目的

• 1次元立方NLSソリトンの時間発展における高次元モデル下での非線形的横方向安定性を調査すること。
• 解析理論が不足していることから、2次元楕円型NLSおよび関連系における不安定性が爆発によるものか分散によるものかを特定すること。
• 楕円型および双曲型NLS型方程式の両方のバリアントにおいて、局所的および周期的横方向摂動の下でのソリトンの挙動を比較すること。
• 解析的結果が存在しない双曲的DS II方程式におけるソリトンの軌道的安定性を評価すること。
• フーリエ係数の減衰およびエネルギー保存のチェックを通じて、数値的精度を検証すること。

提案手法

• 分散型偏微分方程式に高空間分解能を用いた4次精度時間積分スキームによる数値的時間積分。
• 通常のプロット精度をはるかに上回る高精度および高分解能を確保するため、フーリエスペクトル離散化を用いたスペクトル法の採用。
• 特異性の形成や爆発挙動を検出するため、フーリエ係数の漸近挙動の利用。
• 解の精度および安定性の数値的指標としてのエネルギー保存のチェック。
• 初期データが $ u(x,y,0) = u_I(x) + \text{摂動} $ の形を取る場合の、局所的および周期的横方向摂動の下での解の時間発展の比較。
• 長時間挙動および安定性特性を評価するための $ L_∞ $-ノルムおよびフーリエ係数の減衰の分析。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元立方NLSの孤立ソリトンは、2次元楕円型立方NLS方程式において横方向摂動の下でも安定であるか？
• RQ2 2次元楕円型NLSにおける不安定性の性質は何か？爆発によるものか、分散によるものか？
• RQ3 双曲型NLS型方程式におけるソリトンの横方向安定性は、楕円型の場合とどのように異なるか？
• RQ4 双曲的DS II方程式において、局所的摂動の下でソリトンは軌道的に安定であるか？
• RQ5 周期的横方向摂動は、すべてのモデルにおいてソリトンの安定性にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 2次元楕円型立方NLSにおいて、局所的摂動は空間的に1点での $ L_∞ $-ノルムの有限時間内爆発を引き起こす不安定性を示す。
• 2次元楕円型NLSにおける周期的摂動は、複数の爆発点を生じ、[42]で観察された不安定性と整合的である。
• 楕円型-楕円型ダヴィーストゥアートソン系は、2次元楕円型NLSと同様の不安定性特徴を示し、局所的および周期的摂動の両方で爆発を示す。
• 双曲的2次元立方NLSにおいて、ソリトンは局所的および周期的摂動の両方の下で不安定であり、解の分散によって不安定化が進行する。
• DS II方程式において、ソリトンは局所的摂動の下でも頑健に保たれ、摂動は拡散し、ソリトンの形状、振幅、速度が保存される—これは軌道的安定性を示唆する。
• 周期的摂動の下ではDS II方程式も不安定となり、$ L_∞ $-ノルムが増加し、フーリエ係数が $ 10^{-12} $ まで減衰することで、コherenCeの喪失が示唆される。