[論文レビュー] Numerically Modelling Stochastic Lie Transport in Fluid Dynamics

Colin J. Cotter, Dan Crisan+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2018

Model Reduction and Neural Networks被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、データ駆動型のアプローチとして、流体速度を決定論的ドリフトと空間相関のある確率的輸送に分解するStochastic Lie Transport（SLT）から導かれた確率的偏微分方程式（SPDE）を解く、数値的に整合性のある有限要素法を提示する。この手法は、2次元非圧縮性エーラー流れの粗グリッドシミュレーションにおいて非ガウス分布の統計的特性を捉え、不確実性を定量化することに成功しており、アンサンブル解が時間経過とともに真の決定論的解を追跡する。

ABSTRACT

We present a numerical investigation of stochastic transport in ideal fluids. According to Holm (Proc Roy Soc, 2015) and Cotter et al. (2017), the principles of transformation theory and multi-time homogenisation, respectively, imply a physically meaningful, data-driven approach for decomposing the fluid transport velocity into its drift and stochastic parts, for a certain class of fluid flows. In the current paper, we develop new methodology to implement this velocity decomposition and then numerically integrate the resulting stochastic partial differential equation using a finite element discretisation for incompressible 2D Euler fluid flows. The new methodology tested here is found to be suitable for coarse graining in this case. Specifically, we perform uncertainty quantification tests of the velocity decomposition of Cotter et al. (2017), by comparing ensembles of coarse-grid realisations of solutions of the resulting stochastic partial differential equation with the "true solutions" of the deterministic fluid partial differential equation, computed on a refined grid. The time discretization used for approximating the solution of the stochastic partial differential equation is shown to be consistent. We include comprehensive numerical tests that confirm the non-Gaussianity of the stream function, velocity and vorticity fields in the case of incompressible 2D Euler fluid flows.

研究の動機と目的

• 理想流体力学におけるStochastic Lie Transport（SLT）から生じる確率的偏微分方程式（SPDE）を解く、数値的に整合性のある有限要素法を開発すること。
• 高解像度の決定論的シミュレーションから得られる空間相関データを用いて、確率的速度分解をキャリブレーションすること。
• 粗グリッドSPDEアンサンブルを細粒度の決定論的解と比較することで、不確実性定量化を実施すること。
• SPDEアンサンブルにおけるストリーム関数、速度、渦度場の非ガウス性を検証すること。
• 理論的根拠を持つ確率的力学に基づく、将来の粒子フィルターを用いたアンサンブルベースのデータ同化の基盤を構築すること。

提案手法

• Stratonovichノイズを伴う2次元非圧縮性エーラー方程式のSPDEを数値的に解くために、有限要素離散化を適応すること。
• SPDEに対して一貫性が保証された時間離散化スキームを実装し、メッシュの細分化に伴う収束を保証すること。
• 細粒度解のラグランジュ的軌道から推定された速度-速度空間相関固有ベクトルを用いて、確率的輸送成分をキャリブレーションすること。
• 細粒度速度場を粗グリッドに射影し、相関構造に基づく確率的摂動を組み込むことで、SPDEの初期条件を構築すること。
• 不確実性定量化と統計的妥当性検証を実施するため、SPDE解のアンサンブルを生成すること。
• 統計的検定、特に尖度とボックスプロットを用いて、速度、ストリーム関数、渦度場における非ガウス性とアンサンブルの広がりを評価すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元非圧縮性エーラー流れにおけるStochastic Lie Transport（SLT）から導かれたSPDEに対して、数値的に整合性のある有限要素法を開発できるか？
• RQ2 粗グリッド上での真の決定論的解の大スケールダイナミクスを、SPDEアンサンブル解が的確に追跡できるか？
• RQ3 モデルの確率的構造に従って予想されるように、SPDE解の統計的分布は非ガウス的であるか？
• RQ4 高解像度シミュレーションから得られる空間相関データを用いて、確率的速度分解を信頼性高くキャリブレーションできるか？
• RQ5 アンサンブルサイズの増加およびグリッドの細分化によって、不確実性定量化における真の解への忠実度がどの程度向上するか？

主な発見

• SPDEに用いられた時間離散化は、メッシュの細分化に伴う収束を保証する一貫性を持つことが証明された。
• SPDEアンサンブル解は、グリッド解像度が向上するにつれて精度を高めながら、時間経過に伴い決定論的解の大スケール挙動を的確に追跡した。
• SPDEアンサンブルにおけるストリーム関数、速度、渦度場は、非対称な分布とボックスプロットにおける太い尾部によって、強い非ガウス的特性を示した。
• 速度成分の尖度値はガウス分布のものよりも高く、重い尾部と非ガウス的統計の存在を確認した。
• 粗グリッドSPDE解の不確実性は、アンサンブルサイズの増加およびグリッドの細分化に伴い減少し、真の解への忠実度が向上した。
• 本手法は、アンサンブルの広がりと真の軌道の包含性のバランスを取る、理論的根拠を持つ体系的なアンサンブルベースのデータ同化のアプローチを提供した。