[論文レビュー] $O(N^3)$ Measurement Cost for Variational Quantum Eigensolver on Molecular Hamiltonians

Pranav Gokhale, Frederic T. Chong|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、Jordan-Wigner符号化された分子ハミルトニアンにおけるVariational Quantum Eigensolver (VQE) の測定コストを、$O(N^4)$ から $O(N^3)$ に削減できることを証明している。これは、$O(N)$ のサイズをもつ可換なパウリ項の族にパウリ項を分割することで達成される。この手法はバナヤイの定理とフロー・ネットワークに基づく構成的証明を用い、$O(N^5 \log N)$ 時間でこれらの分割を生成し、分子の係数とは無関係に事前計算可能である。

ABSTRACT

Variational Quantum Eigensolver (VQE) is a promising algorithm for near-term quantum machines. It can be used to estimate the ground state energy of a molecule by performing separate measurements of $O(N^4)$ terms. Several recent papers observed that this scaling may be reducible to $O(N^3)$ by partitioning the terms into linear-sized commuting families that can be measured simultaneously. We confirm these empirical observations by studying the MIN-COMMUTING-PARTITION problem at the level of the fermionic Hamiltonian and its encoding into qubits. Moreover, we provide a fast, pre-computable procedure for creating linearly-sized commuting partitions by solving a round-robin scheduling problem via flow networks.

研究の動機と目的

• 分子ハミルトニアンにおけるVQEの測定コストが、各パウリストリングを個別に測定する必要があるために $O(N^4)$ にスケーリングするという高コストを解消すること。
• 可換なパウリストリングをグループ化して同時に測定することで、$O(N^3)$ の測定コストが達成可能であるという経験的観察を確認すること。
• 分子の特定係数に依存せず、$N$ のみに依存する効率的で事前計算可能な方法を用いて、このような可換な分割を生成すること。
• 古典的実行時間が低く抑えられ、近い将来のVQE実装における量子優位性を損なわない、構成的かつスケーラブルな解決策を提供すること。

提案手法

• 4キュービットのパウリ項を、$O(N^3)$ 個の族に分割し、各族のサイズは $O(N)$ であり、各族内の項は可換であることを、バナヤイの定理を用いて構成的に証明する。
• 分割問題をラウンドロビンスケジューリング問題としてモデル化し、$O(N^3)$ 頂点と $O(N^4)$ 辺を持つフローネットワークとして表現する。
• フローラウンディング技術を適用し、1回の反復あたり $O(N^4 \log N)$ 時間で整数最大フローを計算し、合計実行時間を $O(N^5 \log N)$ に低減する。
• フローネットワークの解消を $N$ 回の反復で行い、各反復でサイズ4のインデックス集合 $N/4$ 個の互いに素な集合が得られる。
• 得られた可換な族を用いることで、共有固有基底を介して同時に測定が可能となり、必要な量子ゲート数は $O(N)$ にまで削減される。
• この手法は事前計算可能である：分割は分子の具体的な $h_{pq}$ や $h_{pqrs}$ 係数とは無関係に、$N$ のみに依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Jordan-Wigner符号化された分子ハミルトニアンにおけるVQEの $O(N^4)$ 測定コストを、可換な分割を用いて $O(N^3)$ に厳密に削減できるか？
• RQ2 分子固有のパrameterに依存せず、効率的で構成的な方法でこのような分割を生成できるか？
• RQ3 分割の古典的コストを十分に低く保てるか、近い将来のVQE実装における量子優位性を損なわないか？
• RQ4 バナヤイの定理とフローネットワークを用いることで、任意の $N$-キュービット分子系に対してスケーラブルで事前計算可能な分割が可能か？

主な発見

• Jordan-Wigner符号化された分子ハミルトニアンにおけるVQEの測定コストは、可換なパウリ項の族にグループ化することで、$O(N^4)$ から $O(N^3)$ に厳密に削減可能である。
• 各可換な族には $O(N)$ 個の項が含まれ、同時に測定可能であり、必要な測定ラウンド数が $O(N^3)$ に削減される。
• バナヤイの定理のフローネットワークベースの実装により、$O(N^5 \log N)$ 時間で分割が構成可能であり、任意の $N$ に対して事前計算可能である。
• この手法は $h_{pq}$ や $h_{pqrs}$ の具体的な係数に依存せず、$N$ のみに依存するため、同じ分割をすべての $N$-キュービット分子ハミルトニアンに再利用可能である。
• 同時に測定するための回路には、共有固有基底が4キュービットブロックのテンソル積であるため、$O(N)$ の量子ゲート数で十分である。
• この手法により測定コストの漸近的削減が可能であり、最適化されたトロッターショーニングを用いたハミルトニアンシミュレーションなどの他の量子化学的タスクの改善にも寄与する可能性がある。