[論文レビュー] Observer design for invariant systems with homogeneous observations

Christian Lageman, Jochen Trumpf+1 more|ArXiv.org|Oct 4, 2008

Adaptive Control of Nonlinear Systems参考文献 41被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、有限次元連結リー群上における不変系に対して、補完的群作用によって生成される同次出力を持つ、新たな観測器設計を提案する。系の動的を同次出力空間に射影することにより、著者らは不観測部分群へのほとんど全域的収束を保証する勾配型観測器を構築した。これは不変性の性質と観測誤差動的の構造的分解を活用している。

ABSTRACT

This paper considers the design of nonlinear observers for invariant systems posed on finite-dimensional connected Lie groups with measurements generated by a transitive group action on an associated homogeneous space. We consider the case where the group action has the opposite invariance to the system invariance and show that the group kinematics project to a minimal realisation of the systems observable dynamics on the homogeneous output space. The observer design problem is approached by designing an observer for the projected output dynamics and then lifting to the Lie-group. A structural decomposition theorem for observers of the projected system is provided along with characterisation of the invariance properties of the associated observer error dynamics. We propose an observer design based on a gradient-like construction that leads to strong (almost) global convergence properties of canonical error dynamics on the homogeneous output space. The observer dynamics are lifted to the group in a natural manner and the resulting gradient-like error dynamics of the observer on the Lie-group converge almost globally to the unobservable subgroup of the system, the stabiliser of the group action.

研究の動機と目的

• ロボットステート推定において一般的な、補完的不変性（左不変動的、右不変出力）を有する不変系に対する観測器設計のギャップを埋める。
• 同次出力多様体の商空間上で観測器設計問題を定式化し、観測可能な動的の最小実現を可能にする。
• 観測誤差動的の不変性性質を特定し、観測器とプラントの間の自己備わった結合を保証する。
• 射影された系上で勾配型観測器を構築し、フルリー群に上昇させることで、強い安定性保証を得る。
• 観測器が不観測部分群（群作用の安定化子）へのほとんど全域的漸近的安定性を達成するための条件を確立する。

提案手法

• トランスティヴ群作用を介して、全系の動的を同次出力空間に射影し、観測可能な動的な最小実現を得る。
• 同期的内部モデルと等変性のイノベーション項に観測器を構造的に分解し、誤差動的の不変性を保証する。
• 同次出力空間上で定義されたコスト関数を用いて勾配型イノベーション項を構築し、出力多様体上のリーマン計量から勾配を導出する。
• 群作用を用いて、射影された観測器動的をリー群状態空間に再上昇させ、不変性と安定性の性質を保持する。
• リー群上の右不変計量（例：$\frac{1}{2}\operatorname{tr}((\bar{\Omega}(v))_{\times}^\top(\bar{\Omega}(w))_{\times})$）を用いて勾配を定義し、幾何的一致性を確保する。
• SO(3)上の明示的観測器動的として、$\dot{\hat{R}} = \hat{R}u + k\hat{R}(y \times \hat{y})_{\times}$ を導出する。これはバイアス補償付きの既知の補完型フィルタと一致する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 系の動的と出力群作用が補完的不変性を有するリー群上における不変系の観測器設計を、体系的に行うにはどうすればよいか？
• RQ2 このような系における観測可能な動的な最小実現とは何か？また、不観測部分群とはどのように関係するか？
• RQ3 誤差動的の自己備わった結合を保証するため、イノベーション項が満たすべき不変性性質は何か？
• RQ4 同次出力空間上で勾配型構成がなされれば、フルリー群上に上昇した観測器が強い収束性を達成できるか？
• RQ5 ベクトル測定を用いた姿勢推定における、SO(3)上での明示的観測器の形式と安定性挙動は何か？

主な発見

• 補完的不変性（左不変動的、右不変出力）を有する系は、同次出力空間に射影され、その結果として不観測部分群に対応する群作用の安定化子を有する最小実現を得る。
• 提案された勾配型イノベーションの下で、同次出力空間上の観測誤差動的はほとんど全域的漸近的安定である。これにより、真の出力への収束が不観測部分群まで保証される。
• リー群上に上昇された観測器は、不観測部分群への漸近的安定性を達成する。コスト関数に関する適切な仮定の下で、ほとんど全域的収束が保証される。
• SO(3)上での明示的観測器は、$\dot{\hat{R}} = \hat{R}u + k\hat{R}(y \times \hat{y})_{\times}$ として導出され、姿勢推定に用いられる既知の補完型フィルタの構造と一致する。
• 上昇されたコスト関数 $\tilde{f}(\hat{R}, R) = \frac{k}{2}\|\hat{R}^\top y_0 - R^\top y_0\|^2$ の勾配が観測器動的を生成し、幾何的観測器設計の原則と整合していることを確認する。
• SO(3)上の右不変計量を $S^2$ の接空間に射影すると、標準的なユークリッド計量が得られ、観測器設計の幾何的一致性が検証される。