[論文レビュー] Obstructions to Gapped Phases from Non-Invertible Symmetries

Anuj Apte, Clay Córdova+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2022

Atomic and Subatomic Physics Research被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、3+1次元量子場理論における1次元対称性の規約から生じる非可逆的双対性対称性が、一般にギャップのある対称性を保存する真空の存在を妨げることを確立している。自己双対性を持つ $π_{N}^{(1)}$ 理論は、$N = k^2\ell$ かつ $-1$ が $ olimits\ell$ を法として平方剰余である場合を除きギャップがないか、双対性が破れる。この結果は、トポロジカル不変量とガウス和を用いた、三重性やその他の非可逆的対称性への一般化を含む。

ABSTRACT

Quantum systems in 3+1-dimensions that are invariant under gauging a one-form symmetry enjoy novel non-invertible duality symmetries encoded by topological defects. These symmetries are renormalization group invariants which constrain dynamics. We show that such non-invertible symmetries often forbid a symmetry-preserving vacuum state with a gapped spectrum. In particular, we prove that a self-dual theory with $\mathbb{Z}_{N}^{(1)}$ one-form symmetry is gapless or spontaneously breaks the self-duality symmetry unless $N=k^{2}\ell$ where $-1$ is a quadratic residue modulo $\ell$. We also extend these results to non-invertible symmetries arising from invariance under more general gauging operations including e.g. triality symmetries. Along the way, we discover how duality defects in symmetry protected topological phases have a hidden time-reversal symmetry that organizes their basic properties. These non-invertible symmetries are realized in lattice gauge theories, which serve to illustrate our results.

研究の動機と目的

• 3+1次元量子場理論における非可逆的双対性対称性が、ギャップがあり、一意な真空状態を同時に有することができるかを同定すること。
• トポロジカル量子場理論（TQFT）における双対性デフェクトおよび高次元対称性から生じるトポロジカル障害を特定すること。
• リー卜＝シュルツ＝マチス型定理を非可逆的対称性および高次元へ一般化すること。
• 双対性デフェクトが対称性保護トポロジカル相およびその隠れた時間反転対称性における役割を調査すること。
• 直接和を用いた $π_{N}^{(1)}$ ゲージ理論と分配関数の制約を用いた、これらの障害の明示的格子実装を構築すること。

提案手法

• 3+1次元場理論における $π_{N}^{(1)}$ 1次元グローバル対称性を有する理論において、双対性デフェクトをトポロジカルな対称性作用素として分析する。
• 非可逆的対称性を生成するために $S$ および $T$ 操作（規約化とスタッキング）を適用し、モジュラー群構造を一般化する。
• 単連結なスピン4次元多様体上の交差形式のガウス和を用いて、分配関数を制約し、異常を検出する。
• 分配関数が $T^{-p'}S$ 不変であることに起因する条件 $\tilde{p}(\tilde{p}+p') + 1 \equiv 0 \mod \ell$ を導出する。
• Dijkgraaf-Witten理論と自明な理論の直和を用いて、明示的な例を構築し、双対性対称性の自発的破れを実現する。
• 格子ゲージ理論で結果を検証し、$N \leq 4$ の自己双対性 $π_{N}^{(1)}$ モデルがギャップがないか、双対性が破れることが示された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3+1次元量子場理論が非可逆的双対性対称性を持つ場合、ギャップがあり、一意な真空状態を有する条件は何か？
• RQ2 双対性デフェクト（非可逆的対称性作用素）は、トポロジカル場理論におけるギャップのある相の存在をどのように制約するか？
• RQ3 自己双対性を持つ $π_{N}^{(1)}$ 理論がギャップを持つためには、どのようなトポロジカル不変量または数論的条件（例：平方剰余）を満たす必要があるか？
• RQ4 三重性や $T^{-p'}S$ 操作から生じるより一般的な非可逆的対称性も、ギャップのある相を妨げるのか？
• RQ5 双対性対称性の自発的破れはどのようにギャップのある相を可能にし、そのような相におけるドメイン壁の役割は何か？

主な発見

• 自己双対性を持つ $π_{N}^{(1)}$ 理論は、$N = k^2\ell$ かつ $-1$ が $ olimits\ell$ を法として平方剰余である場合を除き、ギャップがないか、双対性が破れる。これは、交差形式のガウス和制約から導出される。
• 4次元多様体上での $T^{-p'}S$ 不変理論の分配関数は、$\tilde{p}(\tilde{p}+p') + 1 \equiv 0 \mod \ell$ を満たさなければならない。これは、ギャップのある真空が存在するためには、この数論的条件が満たされている必要があることを示唆する。
• 対称性保護トポロジカル相における双対性デフェクトは、その結合とバーニング性質を整理する、隠れた時間反転対称性を有する。
• 双対性対称性の自発的破れによりギャップのある相が可能となる。例えば、Dijkgraaf-Witten理論と自明な理論の直和は、双対性ドメイン壁を有するギャップのある三真空相を実現する。
• $π_{N}^{(1)}$ ゲージ理論の格子実装は、$N \leq 4$ の自己双対モデルが自発的双対性破れを示し、一意な真空ではギャップがないことを確認した。
• 障害機構は $π_{N}^{(1)}$ を超えて、$T^{-p'}S$ 操作から生じる非可逆的対称性、三重性を含め、一貫した分配関数制約を通じて一般化可能である。