[論文レビュー] Supersymmetric index on T^2 x S^2 and elliptic genus

Masazumi Honda, Yutaka Yoshida|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 51被引用数 19

ひとこと要約

本論文は、超対称性局在化を用いて、4次元 $χ=1$ SUSYゲージ理論の $T^2 \times S^2$ 上の超対称的分配関数と2次元 $(0,2)$ SUSYゲージ理論の楕円的生成関数の間の正確な対応を確立する。ゲージノ零モードとホロノミーmoduliを完全に考慮することで、著者らはジェフィーリー＝キルワンの留数規則と一致する公式を導出し、4次元Seiberg双対性が2次元 $(0,2)$ 三重性を意味することを明らかにした。さらに、K3の楕円的生成関数をもたらす2つの異なる4次元理論が特定され、これは新たな4次元双対性を示唆している。

ABSTRACT

We study partition function of four-dimensional $\mathcal{N}=1$ supersymmetric field theory on $T^2 imes S^2$. By applying supersymmetry localization, we show that the $T^2 imes S^2$ partition function is given by elliptic genus of certain two-dimensional $\mathcal{N}=(0,2)$ theory. As an application, we discuss a relation between 4d Seiberg duality duality and 2d $(0,2)$ triality, proposed by Gadde, Gukov and Putrov. In other examples, we identify 4d theories giving elliptic genera of K3, M-strings and E-strings. In the example of K3, we find that there are two 4d theories giving the elliptic genus of K3. This would imply new four-dimensional duality.

研究の動機と目的

• 4次元 $χ=1$ SUSYゲージ理論の $T^2 \times S^2$ 上での正確な超対称的分配関数を、超対称性局在化を用いて導出すること。
• 4次元分配関数と2次元 $(0,2)$ SUSYゲージ理論の楕円的生成関数との間の正確な写像を確立すること。
• この写像が、ガドデ、ギュコフ、パトロフが提唱した4次元Seiberg双対性と2次元 $(0,2)$ 三重性に与える影響を調査すること。
• K3、M-ストリング、E-ストリングの楕円的生成関数を再現する4次元理論を同定すること。

提案手法

• 超対称性局在化を適用し、$T^2 \times S^2$ 上の分配関数を計算する。局在化の局所化領域は $T^2$ 上のホロノミーとゲージノ零モードであることを特定する。
• ジェフィーリー＝キルワンの留数公式を用いて経路積分を評価し、非零モードのデターミナントと零モードの寄与を両方とも組み込む。
• $T^2 \times S^2$ 上に、超対称性を保存する適切な背景ゲージ場と境界条件を備えた4次元理論を構築する。
• 運動量演算子とR charges演算子を2次元のフレーバーおよびR対称性の charges に一致させることで、4次元分配関数を2次元 $(0,2)$ 理論の楕円的生成関数に写像する。
• 分配関数のモジュラー性質を導出し、既知の2次元楕円的生成関数の結果と整合することを確認する。
• モノポール零モードと $S^2$ 上の球面調和関数の役割を分析し、1ループデターミナントを正しく捉える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元 $χ=1$ SUSYゲージ理論の $T^2 \times S^2$ 上の超対称的分配関数は、2次元楕円的生成関数とどのように関係しているか？
• RQ2 ゲージノ零モードを含めた完全な局在化を用いて、4次元 $T^2 \times S^2$ 分配関数を正確に計算できるか？
• RQ3 4次元理論におけるSeiberg双対性は、対応する2次元理論における2次元 $(0,2)$ 三重性を意味するか？
• RQ4 どの4次元理論がK3、M-ストリング、E-ストリングの楕円的生成関数を再現するか？
• RQ5 同じ2次元楕円的生成関数に対応する新たな4次元双対性が存在するか？

主な発見

• 4次元 $χ=1$ SUSYゲージ理論の $T^2 \times S^2$ 上の分配関数は、2次元 $(0,2)$ SUSYゲージ理論の楕円的生成関数と正確に等しい。
• 分配関数は、ホロノミーとゲージノ零モードの寄与を含めたジェフィーリー＝キルワンの留数公式により計算され、これにより以前の不完全な解析が解消された。
• ゲージノ零モードを正しく含めた場合にのみ、4次元分配関数は2次元楕円的生成関数と一致する。これにより、それ以前の研究でそれらを無視した結果が是正された。
• K3の楕円的生成関数をもたらす2つの異なる4次元理論が特定され、これは以前に知られていなかった新たな4次元双対性を示唆している。
• 4次元SQCD理論におけるSeiberg双対性は、2次元 $(0,2)$ 三重性を意味し、ガドデ＝ギュコフ＝パトロフの提唱した内容を場の理論的実現として提供している。
• M-ストリングおよびE-ストリングの楕円的生成関数が、4次元SUSYゲージ理論から正しく再現された。これにより、写像の普遍性が確認された。