[論文レビュー] Obtaining intermediate rings of a local profinite Galois extension without localization

Daniel G. Davis|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$E_n^{hH}$、$L_{K(n)}(S^0)$、$L_{K(n)}(X)$ などの中間 $K(n)$-局所スペクトルが、スペクトルの塔やその後続の $K(n)$-局所化を必要とせず、単一の離散的 $G_n$-スペクトル $F_n$ のホモトピー固定点として直接得られることを示している。主な結果は、任意の開部分群 $U \leq G_n$ に対して $E_n^{hU} \simeq (F_n)^{hU}$ が成り立つことであり、固定点を取った後に局所化を施す必要がなくなる。

ABSTRACT

Let E_n be the Lubin-Tate spectrum and let G_n be the nth extended Morava stabilizer group. Then there is a discrete G_n-spectrum F_n, with L_{K(n)}(F_n) \simeq E_n, that has the property that (F_n)^{hU} \simeq E_n^{hU}, for every open subgroup U of G_n. In particular, (F_n)^{hG_n} \simeq L_{K(n)}(S^0). More generally, for any closed subgroup H of G_n, there is a discrete H-spectrum Z_{n, H}, such that (Z_{n, H})^{hH} \simeq E_n^{hH}. These conclusions are obtained from results about consistent k-local profinite G-Galois extensions E of finite vcd, where L_k(-) is L_M(L_T(-)), with M a finite spectrum and T smashing. For example, we show that L_k(E^{hH}) \simeq E^{hH}, for every open subgroup H of G.

研究の動機と目的

• ホモトピー固定点を取った後、$K(n)$-局所化を施さずに $E_n^{hH}$ のような $K(n)$-局所スペクトルが得られることを示すこと。
• $K(n)$-局所ホモトピー固定点を構成する際、離散的 $G_n$-スペクトルの塔を必要としないことの解消。
• 単一の離散的 $G_n$-スペクトル $F_n$ が、ホモトピー固定点として $L_{K(n)}(S^0)$ および $L_{K(n)}(X)$ を回復できることを確立すること。
• 有限な仮想コhomological次元（vcd）を持つ一貫した $k$-局所プロファイント $G$-ガロア拡張にこの結果を一般化すること。

提案手法

• 開正規部分群 $N \triangleleft_o G_n$ を走る $E_n^{dhN}$ のファイブレーション的再構成の列をとることで、離散的 $G_n$-スペクトル $F_n$ を構成する。
• 等価関係 $E_n^{hH} \simeq \operatorname{holim}_i (F_n \wedge M_i)^{hH}$ を用い、$\{M_i\}$ を一般化されたムーアスペクトルの塔とする。
• 一貫した $k$-局所プロファイント $G$-ガロア拡張に対して、$L_k(E^{hH}) \simeq \left(\operatorname{colim}_{V \triangleleft_o H} L_k((E_{fG})^V)\right)^{hH}$ を示す。
• プロファイント性を満たす拡張に対して、$L_k(E^{hH}) \simeq \left(\operatorname{colim}_{V \triangleleft_o H} L_k((E_{fG})^V)\right)^{hH}$ を証明し、そのコロイムが $H$ の構造に依存しないことを示す。
• スペクトル圏 $\Sigma\mathrm{Sp}_H$ 内で弱同値 $\operatorname{colim}_{V \triangleleft_o H} L_k((E_{fG})^V) \xrightarrow{\simeq} \operatorname{colim}_{V \triangleleft_o H} L_k((E_{fH})^V)$ を確立し、直接計算を可能にする。
• ファイブレーション的再構成関手と $K(n)$-局所化関手を活用し、$E_n^{hH}$ と $F_n$ の固定点との関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホモトピー固定点を取る際に $K(n)$-局所化を施さずに、$E_n^{hH}$ が単一の離散的 $G_n$-スペクトルの固定点として得られるか。
• RQ2 $K(n)$-局所ホモトピー固定点を構成するためにスペクトルの塔が必須であるか。
• RQ3 $L_{K(n)}(S^0)$ の構成が、$F_n$ のホモトピー固定点のみで達成可能か。
• RQ4 プロファイント性を満たす $k$-局所ガロア拡張構造が、部分群 $H$ 全体にわたる $L_k(E^{hH})$ の一様な構成を可能にするか。
• RQ5 固定点スペクトルが $H$ に依存するのを、普遍的な離散的 $H$-スペクトルに置き換えることは可能か。

主な発見

• 任意の開部分群 $U \leq G_n$ に対して $E_n^{hU} \simeq (F_n)^{hU}$ が成り立つ。これは、$K(n)$-局所スペクトルが単一の離散的 $G_n$-スペクトルの固定点から直接生じることを示している。
• スペクトル $F_n$ は離散的 $G_n$-スペクトルであり、$(F_n)^{hG_n} \simeq L_{K(n)}(S^0)$ を満たす。これにより、$K(n)$-局所化を施さずにホップキンズ＝ミラー・スペクトルが回復される。
• 任意の閉部分群 $H \leq G_n$ に対して、$(Z_{n,H})^{hH} \simeq E_n^{hH}$ を満たす離散的 $H$-スペクトル $Z_{n,H}$ が存在する。これにより、各 $H$ に対して一様な構成が可能である。
• 一貫したプロファイント性を満たす $k$-局所プロファイント $G$-ガロア拡張（有限な vcd を持つ）に対して、等価関係 $L_k(E^{hH}) \simeq \left(\operatorname{colim}_{V \triangleleft_o H} L_k((E_{fG})^V)\right)^{hH}$ が成り立つ。
• コロイム $\operatorname{colim}_{V \triangleleft_o H} L_k((E_{fG})^V)$ は離散的 $H$-スペクトルであり、その $H$-ホモトピー固定点は追加の局所化なしに $L_k(E^{hH})$ を与える。
• $L_k(-) = L_M(L_T(-))$ となる $k$-局所プロファイントガロア拡張にこの構成を一般化し、$M$ が有限で $T$ がスモークイングである場合、プロファイント性の下で結果が成り立つ。