[論文レビュー] Occupation times of intervals until first passage times for spectrally negative Lévy processes

Ronnie Loeffen, Jean‐François Renaud+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2012

Probability and Risk Models参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、スペクトラルにネガティブなレヴィ過程における最初の通過時までの区間の滞在時間の明示的ラプラス変換を、スケール関数を用いて閉形式で表現することを導出する。主な貢献は、フラクチュエーション理論の計算を簡素化するためのスケール関数に関する一連の簡略化された解析的恒等式を確立することであり、特に破産リスクを評価するオメガモデルにおいて、オプションプライシングや保険リスクモデルへの応用を可能にする。

ABSTRACT

In this paper, we identify Laplace transforms of occupation times of intervals until first passage times for spectrally negative Lévy processes. New analytical identities for scale functions are derived and therefore the results are explicitly stated in terms of the scale functions of the process. Applications to option pricing and insurance risk models are also presented.

研究の動機と目的

• スペクトラルにネガティブなレヴィ過程における、最初の通過時までの区間の滞在時間の明示的ラプラス変換を導出すること。
• フラクチュエーション理論の計算を簡素化するためのスケール関数に関する新しい解析的恒等式を確立すること。
• 従来の半直線に関する滞在時間の結果を有限区間へと拡張し、一般性と取り扱いやすさを向上させること。
• 金融的・保険的応用に使用可能なスケール関数を用いた明示的公式を提供すること。
• 得られた結果をオプションプライシングおよびオメガリスクモデルに適用し、特に破産確率の計算に寄与すること。

提案手法

• スペクトラルにネガティブなレヴィ過程に関連するスケール関数 $ W^{(q)} $ と $ Z^{(q)} $ の理論を用い、同時ラプラス変換を導出する。
• 空間の同一性と強マルコフ性を適用し、区間を含む問題を最初の通過問題に還元する。
• ウィーナー＝アンプの公式とKyprianou (2006) が提示したフラクチュエーション恒等式を用い、滞在時間を含む期待値を表現する。
• $ \big(\tau_c^+, \tau_c^+ \textbf{1}_{(a,b)}(X_s)ds \big) $ および $ \big(\tau_0^-, \tau_0^- \textbf{1}_{(a,b)}(X_s)ds \big) $ のラプラス変換の閉形式表現を導出する。
• ドミネート収束定理と $ c \to \infty $ の極限を用いて、オメガモデルにおける無限時間破産確率を分析する。
• スケール関数の恒等式と、 $ \sigma > 0 $ の場合に $ W^{(q)\prime} $ とLévy測度 $ \Pi $ を含む積分表現を組み合わせる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スペクトラルにネガティブなレヴィ過程において、0 以下の通過または c 以上の通過までの有限区間 (a,b) 内の滞在時間の明示的ラプラス変換は何か？
• RQ2 スケール関数の恒等式は、半直線に限らず有限区間の滞在時間に対しても簡略化され一般化可能か？
• RQ3 これらの結果は、特に負の区間に長く滞在することで生じる破産確率の計算にどのような意味を持つのか？
• RQ4 最初の通過時刻と滞在時間の同時ラプラス変換は、スケール関数を用いてどのように表現できるか？
• RQ5 上界 $ c \to \infty $ の極限におけるこれらの変換の振る舞いは何か？ そして、破産または破綻確率とどのように関係するか？

主な発見

• 0 または c への最初の通過時までの (a,b) 内の滞在時間のラプラス変換は、スケール関数 $ W^{(q)} $ と $ Z^{(q)} $ を用いて表現され、フラクチュエーション恒等式を用いて明示的公式が導出された。
• 最初の通過時刻 $ \tau_c^+ $ に対して、同時ラプラス変換は $ W^{(q)}(x+b) $、$ Z^{(q)}(x+b) $、および $ W^{(q)} $ と $ Z^{(q)} $ の積分を含む比で与えられ、$ \sigma > 0 $ の場合にはLévy測度を含む補正項が付加される。
• $ (-b,0) $ でレート $ q $ のオメガモデルにおける最終的破産確率は、$ \psi'(0+) \cdot \frac{W(x+b) + q \int_0^b W(x+b-z)W^{(q)}(z)dz}{Z^{(q)}(b)} $ で与えられ、$ \psi'(0+) > 0 $ により確実な破産が保証される。
• $ -b $ に到達することによる破産確率は、$ Z^{(q)} $、$ W^{(q)} $、および正規化積分を含む複雑な式で与えられ、正規化係数は $ \frac{\psi'(0+) + q \int_0^b Z^{(q)}(y)dy}{Z^{(q)}(b)} $ である。
• $ (-b,0) $ に滞在している間に生じる破産確率は、他の二つの確率の補集合として導出され、$ W $ と $ Z^{(q)} $ の積分を含む式で与えられる。
• 従来の半直線に関する滞在時間の研究を一般化し、有限区間を統一的に扱うフレームワークを提供するとともに、スケール関数を用いた明示的計算を可能にする。