[論文レビュー] Odd Jacobi manifolds: general theory and applications to generalised Lie algebroids

Andrew James Bruce|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 26被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、超多様体上の古典的ヤコビ構造のグラスマン奇数版として、奇数スホウテン構造と、古典的ヤコビ恒等式に類似した条件を満たすホモロジカルベクトル場によって定義される奇数ヤコビ多様体を導入する。主な貢献は、ヤコビ代数的双対が自然に準Q多様体（曲がったQ構造）として現れることを示し、一般化されたリーモジュールの幾何的枠組みを提供するとともに、奇数シンプレクティック幾何とゲージ理論形式主義との関係を拡張する。

ABSTRACT

In this paper we define a Grassmann odd analogue of Jacobi structure on a supermanifold. The basic properties are explored. The construction of odd Jacobi manifolds is then used to reexamine the notion of a Jacobi algebroid. It is shown that Jacobi algebroids can be understood in terms of a kind of curved Q-manifold, which we will refer to as a quasi Q-manifold.

研究の動機と目的

• 超多様体上の古典的ヤコビ構造のグラスマン奇数版を構築し、奇数幾何的構造理論における空白を埋める。
• ヤコビ代数的双対の幾何的性質を再解釈することで、それらを準Q多様体（特定の適合条件を満たす曲がったQ構造）として明らかにする。
• 1-コサイクルを伴うリーモジュールの概念を、奇数ヤコビ幾何の枠組みに自然に埋め込むこと。
• 特にZ-次数付きの次数多様体の文脈において、奇数超幾何的構造を用いて一般化されたリーモジュールの新たな視点を提供する。
• 奇数ヤコビ幾何を通じて、$L_\infty$-代数や非線形ヤコビ代数的双対といった高次構造の基礎を築く。

提案手法

• 超多様体上に、余接 bundle におけるグラスマン奇数で、次数2のファイバーごとの多項式として定義される『ほぼスホウテン構造』を用いて、奇数ヤコビ構造を定義する。
• 重み1のホモロジカルベクトル場 $Q$ を導入し、$[Q, Q] = 0$ が補正項を除いて成り立つようにする。これはQ構造の一般化である。
• 古典的ヤコビ恒等式に類似した条件を用いて、奇数スホウテン構造とホモロジカルベクトル場の適合性を確立する：$[[S,S]] = 2E \wedge S$ および $\mathcal{L}_E S = 0$、ここで $E$ は $Q$ に関連するベクトル場である。
• パリティ反転ファンクター $\Pi$ を用いて、$\Pi E^*$ の全空間とベクトルバンドルの双対を関連させ、標準的な二重ベクトルバンドル準同型の構成を可能にする。
• 座標と重みの割り当てを用いて、$R: T^*(\Pi E^*) \to T^*(\Pi E)$ なるシンプレクティック同型写像を構成し、その写像がシンプレクティック構造を保存することを証明する。
• ヤコビ代数的双対が、スホウテン構造とホモロジカルベクトル場の幾何的データが必要な曲がったQ構造公理を満たすことを示すことにより、それらを準Q多様体として再解釈する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超多様体上に、グラスマン奇数版の古典的ヤコビ構造を一貫して定義する方法は何か？
• RQ2 ヤコビ代数的双対の幾何的特徴づけは、準Q多様体などの奇数超幾何的構造を用いてどのように行われるか？
• RQ3 1-コサイクルを伴うリーモジュールの概念は、奇数ヤコビ幾何の枠組みに自然に埋め込めるか？
• RQ4 標準的な二重ベクトルバンドル準同型 $R: T^*(\Pi E^*) \to T^*(\Pi E)$ は、$T^*(\Pi E^*)$ と $T^*(\Pi E)$ 上の異なる奇数超幾何的構造をどのように関連付けるか？
• RQ5 奇数ヤコビ構造は、非線形または高次ホモトピー構造（例：$L_\infty$-代数）へとどのように一般化可能か？

主な発見

• 奇数ヤコビ多様体は、グラスマン奇数のスホウテン構造 $S$ と、$[Q, Q] = 0$ がベクトル場 $E$ を含む補正項を除いて成り立つホモロジカルベクトル場 $Q$ によって定義され、古典的ヤコビ構造を奇数超幾何的設定に一般化する。
• 関連する奇数ヤコビ括弧はスホウテン括弧の公理を満たすが、$E = 0$ でない限り微分作用素とはならず、古典的ヤコビ括弧のライブニッツ則の不成立に類似する。
• ヤコビ代数的双対は、ホモロジカルベクトル場 $Q$ と適合する奇数スホウテン構造 $S$ を持つ準Q多様体（曲がったQ構造）と同値であることが示された。その条件は $[[S,S]] = 2E \wedge S$ および $\mathcal{L}_E S = 0$ である。
• 標準的な二重ベクトルバンドル準同型 $R: T^*(\Pi E^*) \to T^*(\Pi E)$ はシンプレクティック同型写像であることが証明され、シンプレクティック構造 $dp_A dx^A + d\pi^\alpha d\eta_\alpha$ と $dp_A dx^A + d\pi_\alpha d\xi^\alpha$ を保存する。
• 座標の重みとグラスマンパリティの割り当て（例：$\operatorname{w}(\eta_\alpha) = 1$, $\widetilde{\eta}_\alpha = \widetilde{\alpha} + 1$）は、変換則とシンプレクティック構造の整合性を保つために不可欠である。
• この枠組みは、一般化されたリーモジュールの自然な設定を提供し、それらが準Q構造を通じてヤコビ代数的双対の奇数超幾何的実現として現れることを示している。