[論文レビュー] Off-shell renormalization in the presence of dimension 6 derivative operators. II. UV coefficients

Daniele Binosi, Andrea Quadri|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2019

Particle physics theoretical and experimental studies被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、次元6の微分作用素を有するアーベル・ヒッグス＝キッブル模型に対して、一括的で非殻状の1ループの正則化手順を提示する。補助的なX理論フレームワークを用いて、一般化された非多項式的場再定義に起因する紫外発散を物理的正則化から分離する。すべての放射的に生成された次元6のゲージ不変作用素の完全な紫外係数（非正則化結合定数$g$に依存する）を計算し、コhomological手法と可縮ペアを用いてゲージ不変性を確立する。

ABSTRACT

The full off-shell one loop renormalization for all divergent amplitudes up to dimension 6 in the Abelian Higgs-Kibble model, supplemented with a maximally power counting violating higher-dimensional gauge-invariant derivative interaction $\sim g ~ ϕ^\dagger ϕ(D^μϕ)^\dagger D_μϕ$, is presented. This allows one to perform the complete renormalization of radiatively generated dimension 6 operators in the model at hand. We describe in details the technical tools required in order to disentangle the contribution to UV divergences parameterized by (generalized) non-polynomial field redefinitions. We also discuss how to extract the dependence of the $β$-function coefficients on the non-renormalizable coupling $g$ in one loop approximation, as well as the cohomological techniques (contractible pairs) required to efficiently separate the mixing of contributions associated to different higher-dimensional operators in a spontaneously broken effective field theory.

研究の動機と目的

• 高次元相互作用を有する効果的場理論における次元6の微分作用素を有するスカラー場理論の非殻状正則化フレームワークを一貫して構築すること。
• 一般化された非多項式的場再定義に起因する紫外発散を、ゲージ不変作用素の物理的正則化から分離すること。
• 次元6の作用素が放射的に生成されるアーベル・ヒッグス＝キッブル模型において、$\sim g\,\phi^\dagger\phi(D^\mu\phi)^\dagger D_\mu\phi$というパワー・カウンティング違反の相互作用を伴う1ループの紫外係数をすべて計算すること。
• コhomological手法を用いて、非正則化結合定数$g$の$\beta$関数係数を1ループ近似で抽出すること。
• 物理的結果のゲージ不変性を保証するため、非物理的場および源に起因するゲージ依存寄与を体系的に取り扱うこと。

提案手法

• 物理的ヒッグス自由度をゲージ不変な場座標$X_2 \sim \phi^\dagger\phi - v^2/2$で記述する補助的X理論の定式化を採用し、ラグランジュ乗数$X_1$および源$\bar{c}^*$、$T_1$を用いて制約を強制する。
• BRSTコホモロジーを用いた代数的正則化アプローチを適用し、非物理的場再定義に関連するコホモロジー的に自明な不変量を分類・分離する。
• 可縮ペアおよび$R_\xi$-ゲージ形式を用いて、異なる高次元作用素からの寄与を体系的に分離し、ゲージ不変性を保証する。
• X理論における1-PI振幅の1ループ計算を実施し、発散する振幅がループ次数ごとに有限集合に制限される弱いパワー・カウンティングの性質に注目する。
• X理論の結果を、$X_1$および$X_2$のオンシェル還元により元の目的理論に戻す。源を$\phi$およびそのコバリアント微分を用いた物理的作用素に翻訳する。
• 次元正則化における$\epsilon$極を用いた紫外係数の計算を行い、$\sigma$, $\chi$, $A_\mu$, $\bar{c}^*$, $T_1$, $\bar{c}$場を含む2、3、4点関数の発散部分を明示的に評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化された非多項式的場再定義に起因する紫外発散を、高次元相互作用を有する効果的場理論におけるゲージ不変作用素の物理的正則化から体系的に分離する方法は何か？
• RQ2 パワー・カウンティング違反の$\sim g\,\phi^\dagger\phi D^\mu\phi D_\mu\phi$相互作用を伴うアーベル・ヒッグス＝キッブル模型において、放射的に生成されるすべての次元6作用素の1ループ紫外係数の完全な集合は何か？
• RQ3 非正則化結合定数$g$の$\beta$関数係数は、1ループ近似においてエネルギースケール$\Lambda$およびヒッグス真空期待値$v$にどのように依存するか？
• RQ4 可縮ペアを含むコホモロジー的手法を用いて、対称性の破れのあるゲージ理論における異なる高次元作用素間の混合をどのように分離できるか？
• RQ5 X理論におけるゲージ依存係数の役割は何か？また、それらはどのようにして目的理論における物理的紫外係数のゲージ不変性を保証するか？

主な発見

• 零運動量における$\sigma\sigma\sigma$頂点の紫外係数は、$\frac{3}{8\pi^2 v^3}(m^4 + 2m^2M^2 + 2M^4 - m^2M_A^2(1 - \delta_{\xi 0}) + 6M_A^4)\frac{1}{\epsilon}$であり、非フェインマンゲージにおける$\delta_{\xi 0}$依存性が明示的に現れる。
• $\bar{c}^*\sigma\sigma$頂点の1ループ発散はゼロである：$\overline{\Gamma}^{(1)}_{\bar{c}^*\sigma\sigma} = 0$。これはこの源場結合に紫外発散が存在しないことを示している。
• $\chi\chi\chi\chi$四点関数の発散部分は$\frac{3}{8\pi^2 v^4}(m^4 + 2m^2M^2 + 2M^4 - 2m^2M_A^2 + 6M_A^4)\frac{1}{\epsilon}$であり、追加の$\delta_{\xi 0}$依存項および運動量依存補正が存在する。
• 零運動量における$\sigma\sigma\chi\chi$頂点は$\frac{1}{8\pi^2 v^4}(m^4 + 2m^2M^2 + 2M^4 - 2m^2M_A^2(1 - \delta_{\xi 0}) + 6M_A^4)\frac{1}{\epsilon}$であり、$M_A^2$および$\delta_{\xi 0}$に明示的な依存性を示す。
• 零運動量における$T_1\sigma\sigma$頂点は$\frac{1}{8\pi^2 v}\big(m^2(3M^2 + 2(1 - \delta_{\xi 0})M_A^2) + 6(M^4 + M_A^4)\big)\frac{1}{\epsilon}$であり、非自明なゲージ依存性を確認する。
• $\sigma\chi\chi$頂点には、$\frac{g}{\Lambda v}$に比例する運動量依存発散項が含まれ、$m^2$, $M^2$, $M_A^2$を含む係数を持つ。これは紫外構造における非自明な混合を示している。