[論文レビュー] Off-shell supersymmetry and filtered Clifford supermodules

Charles F. Doran, Michael Faux+4 more|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2006

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、1次元および2次元の非殻超対称性表現と、それぞれCl(N)およびCl(p+q)上のフィルター付きまたは二重フィルター付きクリフォード超モジュールとの間の明確な数学的対応関係を確立する。工学的次元を整数次元として形式化し、フィルター付き超代数の変形理論を用いることで、このような表現がこれらのフィルター構造によって分類されることを証明し、1次元または2次元への次元削減を通じて非殻超対称的場の理論を体系的に分類するための厳密な枠組みを提供する。

ABSTRACT

An off-shell representation of supersymmetry is a representation of the super Poincare algebra on a dynamically unconstrained space of fields. We describe such representations formally, in terms of the fields and their spacetime derivatives, and we interpret the physical concept of engineering dimension as an integral grading. We prove that formal graded off-shell representations of one-dimensional N-extended supersymmetry, i.e., the super Poincare algebra p^{1|N}, correspond to filtered Clifford supermodules over Cl(N). We also prove that formal graded off-shell representations of two-dimensional (p,q)-supersymmetry, i.e., the super Poincare algebra p^{1,1|p,q}, correspond to bifiltered Clifford supermodules over Cl(p+q). Our primary tools are the formal deformations of filtered superalgebras and supermodules, which give a one-to-one correspondence between filtered spaces and graded spaces with even degree-shifting injections. This generalizes the machinery developed by Gerstenhaber to prove that every filtered algebra is a deformation of its associated graded algebra. Our treatment extends Gerstenhaber's discussion to the case of filtrations which are compatible with a supersymmetric structure, as well as to filtered modules in addition to filtered algebras. We also describe the analogous constructions for bifiltrations and bigradings.

研究の動機と目的

• 低次元ミンコフスキー時空における非殻超対称的表現の数学的に厳密な分類を提供すること。
• 長年の「基本的超対称性の課題」を解決し、オンシェル表現が非殻拡張を許容する条件を同定すること。
• ゲルステンハーバーのフィルター付き代数の変形理論を、超対称的構造およびフィルター付き超モジュールを含む形に一般化すること。
• 1次元N拡張非殻超対称性が正確にフィルター付きCl(N)-超モジュールに対応すること、2次元(p,q)-超対称性が二重フィルター付きCl(p+q)-超モジュールに対応することを確立すること。
• 1次元または2次元への次元削減の影を通じて、高次元非殻理論の分類の基盤を築くこと。

提案手法

• 非殻超対称性を、制約のない場の空間上の超ポincare代数の表現として形式化し、工学的次元を整数次元として符号化する。
• フィルター付き超代数および超モジュールの形式的変形理論を適用し、フィルター付き空間と偶数次元シフト写像を有する次数付き空間との間の一対一対応を確立する。
• クリフォード代数Cl(N)およびCl(p+q)の構造を用いて、場およびその導関数への超対称性生成子の作用をモデル化する。
• 場の工学的次元の次元付けに対応するフィルター（2次元では二重フィルター）を導入し、フィルターの段階が時空微分の次数を反映するようにする。
• 非同型のフィルターを区別するため、部分空間F_pV / Span{γ₁,…,γ_N}·F_{p-1}Vを分析する。これらは異なる非殻表現を符号化する。
• アディンクラや有向辺を伴うコクセター図を用いた組合せ論的ツールを用い、フィルター選択に対応するソース/シンク構造を可視化および分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元d=1, N拡張超ポincare代数の非殻表現は、代数的構造を用いてどのように体系的に分類可能か？
• RQ2 2次元(p,q)-超対称性とCl(p+q)上のフィルター付き超モジュールとの間の正確な代数的対応関係は何か？
• RQ3 次元数え上げ不変量(8.2)は、フィルター付きクリフォード超モジュールをどの程度分類できるか。また、いつ不十分となるか？
• RQ4 部分空間F_pV / Span{γ₁,…,γ_N}·F_{p-1}Vは、非同型の非殻表現を区別するためにどのように寄与するか？
• RQ5 高次元における非殻超対称性の分類は、整合的なローレンツ作用を持つフィルター付きまたは二重フィルター付きクリフォード超モジュールに還元可能か？

主な発見

• 1次元d=1, N拡張超ポincare代数の非殻表現は、フィルター付きCl(N)-超モジュールと一対一に対応する。
• 2次元d=2, (p,q)-拡張超ポincare代数の非殻表現は、正確に二重フィルター付きCl(p+q)-超モジュールに対応する。
• N ≤ 4の場合、次元数え上げ不変量(8.2)は、無限大Cl(4)-超モジュール上のフィルターを完全に分類する。
• N = 5の場合、同じ次元数え上げ不変量(2,8,6)を持つ非同型の複数のフィルターが存在し、(8.2)だけでは分類に不十分であることが示された。
• 部分空間F_pV / Span{γ₁,…,γ_N}·F_{p-1}Vはフィルターを区別する：(8.3)は次元(1,0,0,0,0)、(8.4)は次元(1,0,3,0,0)を示し、それらの非同型性を実証する。
• アディンクラ図におけるソースまたはシンクの選択は、フィルター商における補完部分空間の選択に正確に対応し、組合せ論的分類手法を提供する。