[論文レビュー] Old and new about treeability and the Haagerup property for measured groupoids

Claire Anantharaman-Delaroche|arXiv (Cornell University)|May 30, 2011

Advanced Operator Algebra Research参考文献 39被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、可算測度付き群コホモロジーのハーガップ性と、それらに付随するフォン・ノイマン代数の相対的ハーガップ性の同値性を確立し、木構造性が群コホモロジーのレベルで直接的にハーガップ性を意味することを証明する。ジョリッサンの同値関係に関する研究を拡張し、群コホモロジー構造、作用素代数、およびアメニタリティやカジダールの性質 (T) といった幾何的性質を統合的に結びつける枠組みを提供する。

ABSTRACT

This is mainly an expository text on the Haagerup property for countable groupoids equipped with a quasi-invariant measure, aiming to complete an article of Jolissaint devoted to the study of this property for probability measure preserving countable equivalence relations. We show that our definition is equivalent to the one given by Ueda in terms of the associated inclusion of von Neumann algebras. It makes obvious the fact that treeability implies the Haagerup property for such groupoids. For the sake of completeness, we also describe, or recall, the connections with amenability and Kazhdan property (T).

研究の動機と目的

• 可測群コホモロジーに対するジョリッサンの研究を、測度を保つ同値関係への適用から一般の可算測度付き群コホモロジーへ拡張すること。
• フォン・ノイマン代数の相対的ハーガップ性による定義と同値である、群コホモロジーのレベルで内在的に定義されたハーガップ性の定義を確立すること。
• 作用素代数の技法に依存せずに、群コホモロジーの枠組み内で木構造性が直接的にハーガップ性を意味することを示すこと。
• 測度付き群コホモロジーの文脈において、ハーガップ性、アメニタリティ、およびカジダールの性質 (T) の関係を明確にすること。
• ポパの枠組みを用いて、アメニタリティを持つ測度付き群コホモロジーがハーガップ性を満たすことを示す文献の空白を埋めること。

提案手法

• 可算測度付き群コホモロジーに擬不変測度を導入し、$ L^∞(X,\mu) \subset L(G,\mu) $ を通じたフォン・ノイマン代数構造を形式化する。
• 群コホモロジーのフォン・ノイマン代数にドウミタ＝タケサキ理論を適用し、ハーンの結果を測度付き群コホモロジーの文脈に適応する。
• 一般の包含 $ A \subset M $ および特に $ L^\infty(X,\mu) \subset L(G,\mu) $ に対して、ジョーンズの基本的構成を分析し、条件付き期待値を用いる。
• 群コホモロジー上の正定値関数とフォン・ノイマン代数上の完全正値写像の間の対応を確立し、群の結果を一般化する。
• 群コホモロジーのレベルで木構造性を、ファイバーへの木構造の可測な割り当てとして定義し、グラフバンドル構成を用いて正定値関数を構成する。
• G-不変なヒルベルト空間の可測場と等長的表現の存在を用いて、ほぼ不変なベクトルのネットを構成し、ハーガップ性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可算測度付き群コホモロジーのハーガップ性は、作用素代数的定式化に依存せずに、どのように内在的に定義できるか？
• RQ2 測度付き群コホモロジーの木構造性は、ハーガップ性を意味する十分条件か？ そして、作用素代数を経由せずに、群コホモロジーのレベルで直接的に示せるか？
• RQ3 測度付き群コホモロジーの文脈において、アメニタリティとハーガップ性の正確な関係は何か？
• RQ4 エルゴディック性のもとで、ハーガップ性とカジダールの性質 (T) はどのように相互作用するか？
• RQ5 フォン・ノイマン代数 $ L(G,\mu) $ が $ L^\infty(X,\mu) $ に対して相対的ハーガップ性を満たすことは、群コホモロジー構造の観点から純粋に特徴づけられるか？

主な発見

• 可算測度付き群コホモロジー $ (G,\mu) $ のハーガップ性は、作用素代数的定義による $ L(G,\mu) $ の $ L^\infty(X,\mu) $ に対する相対的ハーガップ性と同値である。
• 測度付き群コホモロジーの木構造性はハーガップ性を意味し、これは作用素代数を経由せずに、可測なグラフバンドル構成によって直接的に証明されている。
• 測度付き群コホモロジーのアメニタリティはハーガップ性を意味するが、これは標準的な相対的アメニタリティからは自明ではなく、ポパの意味での強い相対的アメニタリティが必要である。
• エルゴディック性のもとで、ハーガップ性とカジダールの性質 (T) は互いに排他的であり、これはジョリッサンの群作用に関する結果を一般化する。
• 本稿は、G-不変な正定値関数を伴うヒルベルト空間の可測場の存在という観点から、ハーガップ性の完全な特徴づけを提供し、幾何学と作用素代数を結びつける。
• この枠組みは、群コホモロジーに付随するフォン・ノイマン代数における相対的性質の研究において、ジョーンズの基本的構成と条件付き期待値の役割を明確にする。