[論文レビュー] Omni-Lie Algebras

Alan Weinstein|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 1999

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、R^n × gl(n,R) に定義された括弧が、ジャコビ恒等式を全体的に満たさないが、R^n に値をとる対称的双線形形式に関して同一直線部分代数上で満たすという構造である「オムニ・リー代数」を導入する。この構成は、TM ⊕ T*M 上のカウランスの括弧を一般化し、リー代数、ポアソン構造、閉2形式を統一的に扱う枠組みを提供する。

ABSTRACT

We show that the space R^n x gl(n,R) with a certain antisymmetric bracket operation contains all n-dimensional Lie algebras. The bracket does not satisfy the Jacobi identity, but it does satisfy it for subalgebras which are isotropic under a certain symmetric bilinear form with values in R^n. We ask what the corresponding group-like object should be. The bracket may be obtained by linearizing at a point the bracket on TM + T*M introduced by T. Courant for the definition of Dirac structures, a notion which encompasses Poisson structures, closed 2-forms, and foliations.

研究の動機と目的

• TM ⊕ T*M 上のカウランスの括弧を、R^n × gl(n,R) 上の線形化構造へ一般化すること。
• この非ジャコビ括弧に対応する「群」の役割を果たす幾何的または代数的対象を同定すること。
• すべてのn次元リー代数が、同一直線部分代数を介してこの構造に埋め込まれることを示すこと。
• R^n に値をとる対称的双線形形式が、特定の部分代数上でジャコビ恒等式が成立することを保証する役割を明確にすること。

提案手法

• 反対称的双線形形式を用いて、R^n × gl(n,R) 上に括弧演算を定義する。
• R^n に値をとる対称的双線形形式を導入し、同一直線部分代数を特徴付ける。
• 括弧が、この形式に関して同一直線な部分代数上で、正確にジャコビ恒等式を満たすことを示す。
• 括弧を、TM ⊕ T*M 上のカウランスの括弧を点で線形化したものと関連付ける。
• この構造を用いて、すべてのn次元リー代数を空間 R^n × gl(n,R) に埋め込む。
• 括弧が、リー代数、ポアソン構造、閉2形式を、すべて同じ基本括弧の特別な場合として統一することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 R^n × gl(n,R) 上の括弧が、リー代数、ポアソン構造、閉2形式をどのように統一するのか？
• RQ2 この非ジャコビ括弧の文脈で、ジャコビ恒等式が成立するための条件は何か？
• RQ3 この括弧構造に対応する「群的対象」は何か？
• RQ4 R^n に値をとる対称的双線形形式が、ジャコビ恒等式の成立をどのように制御するのか？
• RQ5 この括弧が、TM ⊕ T*M 上のカウランスの括弧の線形化であるとみなせるのはどのような意味か？

主な発見

• R^n × gl(n,R) 上の括弧は、全体的にはジャコビ恒等式を満たさないが、R^n に値をとる対称的双線形形式に関して同一直線な部分代数上で満たす。
• すべてのn次元リー代数が、この構造のもとで、同一直線部分代数として R^n × gl(n,R) に埋め込まれる。
• 括弧の構成は、TM ⊕ T*M 上のカウランスの括弧を点で線形化したものとして得られる。
• この構造は、リー代数、ポアソン構造、閉2形式を、同じ基本括弧の特別な場合として統一する。
• R^n に値をとる対称的双線形形式は、特定の部分代数上でジャコビ恒等式が成立することを保証する制約として機能する。
• この枠組みは、ディラック構造、ポアソン幾何学、リー代数論の統合的幾何的・代数的設定を提供する。