[論文レビュー] On a Cahn--Hilliard system with convection and dynamic boundary conditions

Pierluigi Colli, Gianni Gilardi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Solidification and crystal growth phenomena参考文献 29被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、対流項と動的境界条件を含むCahn–Hilliard系を検討し、粘性項および純粋なCahn–Hilliard系の両方を、正則、特異、二重障害型ポテンシャルに対して扱う。完全な正則化とFaedo–Galerkin近似スキームを用いて、最小限の速度場に関する仮定のもとでも、対数型ポテンシャルに対して、適切な定義、正則性、連続的依存性、一様有界性、および厳密な分離性が確立される。

ABSTRACT

This paper deals with an initial and boundary value problem for a system coupling equation and boundary condition both of Cahn--Hilliard type; an additional convective term with a forced velocity field, which could act as a control on the system, is also present in the equation. Either regular or singular potentials are admitted in the bulk and on the boundary. Both the viscous and pure Cahn--Hilliard cases are investigated, and a number of results is proven about existence of solutions, uniqueness, regularity, continuous dependence, uniform boundedness of solutions, strict separation property. A complete approximation of the problem, based on the regularization of maximal monotone graphs and the use of a Faedo--Galerkin scheme, is introduced and rigorously discussed.

研究の動機と目的

• 体積および表面における時間発展を含む、対流項および動的境界条件を有するCahn–Hilliard系の解析を通じて、古典的モデルを拡張する。
• 一般のポテンシャル（特異的・滑らかでない二重井戸型を含む）を用いた初期境界値問題の適切な定義を扱う。
• 速度場に最小限の仮定を置いたもとでも、解の連続的依存性、正則性、一様有界性を確立する。
• 対数型ポテンシャルに対して、解が臨界値から離れる厳密な分離性を証明する。
• 最大単調写像の正則化とFaedo–Galerkin法を組み合わせた包括的な近似スキームの構築と、その厳密な正当化を図る。

提案手法

• 与えられた速度場 u を用いた対流項を含む、体積領域および境界面上でのCahn–Hilliard型方程式の連立系を定式化する。
• f′ = β + π とし、β を凸関数の劣微分、π をリプシッツ連続な摂動項とする。これにより、特異的・滑らかでないポテンシャルの取り扱いが可能になる。
• 時間微分項および表面ラプラシアンを含む動的境界条件を ρ および µ に導入し、界面の動的挙動をモデル化する。
• 非滑らかポテンシャルに対処するため、最大単調写像（例：劣微分）の正則化技術を適用する。
• 有限次元部分空間上での近似解を構成するために、Faedo–Galerkinスキームを用いる。
• エネルギー推定を導出し、Gronwallの補題を適用して収束性と安定性を証明し、弱解の存在および一意性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対流項および動的境界条件を有するCahn–Hilliard系が、一意な弱解を有するのはどのような条件下か？
• RQ2 対流および動的境界ダイナミクスの下でも、対数型ポテンシャルに対して厳密な分離性が保たれるか？
• RQ3 解の正則性および有界性は、速度場の可積分性および時間的正則性にどのように依存するか？
• RQ4 τΩ, τΓ > 0 である粘性項が、解の均一有界性および正則性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 滑らかでない、結合されたPDE系のこのクラスに対して、正則化とFaedo–Galerkin法に基づく近似スキームはどの程度厳密に正当化可能か？

主な発見

• 著者らは、対流項および動的境界条件を有する粘性項付きおよび純粋なCahn–Hilliard系の両方について、弱解の存在、一意性、正則性を証明した。
• 最大単調写像の正則化とFaedo–Galerkin法を組み合わせた包括的な近似スキームが、厳密に確立され、正当化された。
• τΩ および τΓ が正である限り、境界にまで及ぶ注文パラメータ ρ および化学ポテンシャル µ の一様有界性が証明された。
• 対数型ポテンシャルに対して、厳密な分離性が確立され、ある δ > 0 に対して、ほとんど至る空間時間領域で |ρ| < 1 − δ が成り立つことが示された。
• 解が速度場 u に対して連続的依存することを示し、解のノルムが ∥u∥H¹(0,T;L³(Ω)) で有界であることが示された。
• u に対して最小限の仮定が置かれたもとでも、(2.56)式の完全な推定式が成り立つことが示され、(µ, µΓ) および (ρ, ρΓ) が L∞(0,T;W) に有界であることが保証された。