[論文レビュー] On a certain class of operator algebras and their derivations

Sh. A. Ayupov, R. Z. Abdullaev+1 more|ArXiv.org|Aug 9, 2009

Holomorphic and Operator Theory参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、von Neumann代数 $M$ 上のすべての忠実正規有限トレースに関して、非可換 $L_p$-空間のすべての共通部分集合として定義される有限トレーシャル代数を導入する。この代数上ですべての導分が内部分であることを証明し、Arens代数に関する既知の結果を一般化し、非可換 $L_p$-に基づく作用素代数の主要な構造的性質を確立する。

ABSTRACT

Given a von Neumann algebra $M$ with a faithful normal finite trace, we introduce the so called finite tracial algebra $M_f$ as the intersection of $L_p$-spaces $L_p(M, μ)$ over all $p \geq 1$ and over all faithful normal finite traces $μ$ on $M.$ Basic algebraic and topological properties of finite tracial algebras are studied. We prove that all derivations on these algebras are inner.

研究の動機と目的

• von Neumann代数 $M$ 上のすべての忠実正規有限トレース $\mu$ に対して、$L_p(M,\mu)$ 空間のすべての共通部分集合として有限トレーシャル代数を定義し、それらを研究すること。
• これらの代数の位相的および代数的性質、特に可度量化可能性と反射的性質を調査すること。
• これらの代数上の導分の完全な特徴付けを確立し、すべてが内部分であることを示すこと。
• Arens代数における導分に関する既知の結果を、より広い非可換 $L_p$-に基づく代数のクラスへと拡張すること。
• 有限トレーシャル代数の双対空間を記述し、その位相的構造を明確にすること。

提案手法

• $\mathcal{F}$ を $M$ 上のすべての忠実正規有限トレースの集合とする。このとき、有限トレーシャル代数 $M_f = \bigcap_{\mu \in \mathcal{F}} \bigcap_{p \geq 1} L_p(M,\mu)$ を定義する。
• $M_f$ に、すべての $p \geq 1$ および $\mu \in \mathcal{F}$ に対して $L_p$-ノルム $\|\cdot\|_p^\mu$ によって生成される位相 $t$ を導入する。
• Radon–Nikodym定理を用いて、任意の f.n.f. トレース $\mu$ を $\mu(x) = \tau(hx)$ の形に表現する。ここで $h$ は $M$ の中心に付随する $L^1(M,\tau)$ 内の正の元である。
• Arens代数 $L^\omega(M,\tau)$ における導分に関する既知の結果（特に $\tau$ が有限のとき、$L^\omega(M,\tau)$ 上の導分は内部分である）を適用する。
• $M_f$ が $L^\omega(M,\tau)$ の部分代数としての剛性を示し、補題 4.2 を用いて、$L^\omega(M,\tau)$ 内の導分の実装要素 $a$ を $M_f$ 自身へと持ち上げる。
• $M$ から $A \supseteq M$ への導分の恒等式を、Leibniz則およびスペクトル論法（例えば、$x \geq 0$ のとき $1+x$ が可逆であること）を用いて拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限トレーシャル代数 $M_f$ が可度量化可能または反射的であるのはどのような条件下か？
• RQ2 $M_f$ が集合として von Neumann代数 $M$ と一致するのはいつか？
• RQ3 $M_f$ の双対空間の構造はいかなるものか？
• RQ4 すべての導分が $M_f$ 上で内部分であるか。その場合、$M$ に対してどのような条件が必要か？
• RQ5 $M_f$ 上の位相は、作用素位相および $M$ 上の $L_p$-位相とどのように比較できるか？

主な発見

• 有限トレーシャル代数 $M_f$ は、すべての $L_p^\mu$-ノルムによって生成される位相に関して、完備な局所凸位相 $^*$-代数である。
• $M_f$ が可度量化可能または反射的であるための必要十分条件は、$M$ の中心が有限次元であることであり、このとき $M_f$ はあるトレース $\mu$ に対してArens代数 $L^\omega(M,\mu)$ と一致する。
• $M_f$ が集合として $M$ と一致するのは、$M$ が有限次元であるか、トレース空間が自明である場合に限るが、その場合でも $M_f$ 上の位相は作用素位相よりも厳密に強い。
• $M_f$ の双対空間は、すべての $q \in (1,\infty)$ およびすべての f.n.f. トレース $\mu$ に対して $L_q(M,\mu)$ 空間の共通部分集合と等長同型である。双対性ペアリングは $\langle x, a \rangle = \tau(ax)$ で与えられる。
• $M$ を含む $L^\omega(M,\tau)$ の部分代数 $A$ 上の任意の固体 $^*$-代数上の導分は、実装要素 $a$ が $A$ 内に存在する限り内部分である。
• 特に、$M_f$ 上のすべての導分は内部分であり、これは可換 $L_p$-代数における古典的結果の非可換版を確立する。