[論文レビュー] On a Class of Singular Projectively Flat Finsler Metrics with Constant Flag Curvature

Guojun Yang|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2013

Advanced Differential Geometry Research参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、次元 $n=2$ および $n\geq 3$ における定数フラッグ曲率をもつ局所的プロジェクト型平坦な特異 $(\alpha,\beta)$-度量を分類する。特異度量が平坦平行であるか、局所的にミンコフスキー的であることを示し、$m$-KropinaおよびKropina度量の明示的構成を行う。また、定数フラッグ曲率が平坦平行性を意味するとは限らないことを示し、ランダースおよび $(\alpha+\beta)^2/\alpha$ 度量に関する既知の結果を特異度量へと拡張する。

ABSTRACT

Singular Finsler metrics, such as Kropina metrics and $m$-Kropina metrics, have a lot of applications in the real world. In this paper, we classify a class of singular $(α,β)$-metrics which are locally projectively flat with constant flag curvature in dimension $n= 2$ and $n \ge 3$ respectively. Further, we determine the local structure of $m$-Kropina metrics and particularly Kropina metrics which are projectively flat with constant flag curvature and prove that such metrics must be locally Minkowskian but are not necessarily flat-parallel.

研究の動機と目的

• 次元 $n=2$ および $n\geq 3$ における定数フラッグ曲率をもつ局所的プロジェクト型平坦な特異 $(\alpha,\beta)$-度量を分類すること。
• $m$-KropinaおよびKropina度量の局所的構造を、これらの曲率およびプロジェクト型平坦性条件のもとで特定すること。
• 正則度量の定数フラッグ曲率に関する既知の分類を、$\phi(0)=0$ または未定義となる特異度量の場合、すなわち $\phi(0)=0$ または未定義となる場合にまで拡張すること。
• このような度量が局所的にミンコフスキー的であるが、平坦平行であるとは限らないことを示し、正則度量とは明確に異なる点を解明すること。

提案手法

• $F = \alpha\phi(s)$, $s=\beta/\alpha$ の形の $(\alpha,\beta)$-度量を分析し、$\phi(s) = cs + s^m\varphi(s)$, $m \neq 0,1$, $\varphi(0)=1$, および $c=0$ が成り立つ $m$ が負の整数である場合に制限する。
• プロジェクト型平坦性条件をプロジェクト型因子 $P$ を用いて適用し、$\alpha$ および $\beta$ に関する関連する偏微分方程式系を導出する。
• $\widetilde{\alpha} = \alpha/b$, $\widetilde{\beta} = \beta/b^2$ の変形を用いて度量構造を単純化し、平坦性および平行性条件に帰着する。
• 係数 $r_{00}$, $s_{ij}$, および $G^i_\alpha$ に関する得られた常微分方程式および偏微分方程式を解き、平坦平行または特定の $m$-Kropina 形式への分類を達成する。
• テイラー展開および解析的仮定を用いて、定数フラッグ曲率の場合の $\alpha$ および $\beta$ の明示的局所表現を導出する。
• 特異度量の文脈においてベルトラミおよびシュールの定理を適用し、曲率およびプロジェクト型幾何学を制約する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異度量 $F = \alpha\phi(s)$ で $\phi(s) = cs + s^m\varphi(s)$ を満たすものについて、どのような条件下で定数フラッグ曲率をもち局所的プロジェクト型平坦となるか？
• RQ2 $m$-KropinaおよびKropina度量（$m=-1$）は、平坦平行でない場合に、定数フラッグ曲率をもち局所的プロジェクト型平坦となることができるか？
• RQ3 次元 $n=2$ および $n\geq 3$ におけるこのような度量について、$\alpha$ および $\beta$ の明示的局所形は何か？
• RQ4 定数フラッグ曲率条件は、正則度量の状況を越えて、特異度量の幾何学にどのような制約を課えるか？
• RQ5 定数フラッグ曲率をもち局所的プロジェクト型平坦な特異度量のクラスは、平坦平行度量または既知の正則度量のクラスよりも厳密に大きいと言えるか？

主な発見

• 任意の $n \geq 2$ に対して、特異度量 $F = \alpha\phi(s)$ で $\phi(s) = cs + s^m\varphi(s)$ を満たすものについて、定数フラッグ曲率をもち局所的プロジェクト型平坦であるための必要十分条件は、平坦平行であること、すなわち $\alpha$ が平坦で $\beta$ が $\alpha$ に関して平行であることである。
• 任意の $n \geq 2$ に対して、度量 $F = \beta^m(\alpha^2 + k\beta^2)^{(1-m)/2}$ は定数フラッグ曲率 $K=0$ をもち局所的プロジェクト型平坦であり、局所的にミンコフスキー的であるが、平坦平行であるとは限らない。
• 次元 $n=2$ に対して、度量 $F = \frac{2b}{1-kb^2}\left\{b\sqrt{\alpha^2 - k\beta^2} - \sqrt{b^2\alpha^2 - \beta^2}\right\}$ は負の定数フラッグ曲率 $K<0$ をもち局所的プロジェクト型平坦である。ここで $b = \|\beta\|_\alpha$ である。
• $m$-Kropina度量 $F = \beta^m \alpha^{1-m}$ は、定数フラッグ曲率をもち局所的プロジェクト型平坦であるための必要十分条件は、局所的にミンコフスキー的であることであるが、平坦平行であるとは限らない。これは $\widetilde{\alpha}$ および $\widetilde{\beta}$ への変形を用いて示された。
• 第5のクラス $F = k_1\beta + 2k_2\alpha^2/\beta + \alpha^4/\beta^3$ について、$k_1 - k_2^2 \neq 0$ を満たす場合、プロジェクト型平坦性と定数フラッグ曲率が成り立つならば $K=0$ であり、$F$ は局所的にミンコフスキー的であり、$\alpha$ は平坦で $\beta$ は平行である。
• 本論文は、特異度量において定数フラッグ曲率が平坦平行性を意味するとは限らないことを証明した。これは、度量が局所的にミンコフスキー的であっても同様である。このため、特異度量の状況は正則度量とは明確に異なる。