[論文レビュー] On a conjecture about maximum scattered subspaces of $\mathbb{F}_{q^6} imes \mathbb{F}_{q^6}$

Daniele Bartoli, Bence Csajbók+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2020

Coding theory and cryptography参考文献 24被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$\mathrm{GL}(2,q^6)$の作用の下で、$\mathbb{F}_{q^6} \times \u005Cmathbb{F}_{q^6}$ 内の形 $U_b = \{(x, bx^q + x^{q^4}) : x \in \mathbb{F}_{q^6}\}$ の最大散乱部分空間の同値類がちょうど $\lfloor(q^2+q+1)(q-2)/2\rfloor$ 個存在することを証明している。この結果は、2018年にCsajbók, Marino, Polverino, Zanellaが提起した、このような部分空間の分類に関する予想を裏付けるものであり、代数幾何学的手法とトレース条件を用いて、多項式の根の解析により同値類を特徴づけている。

ABSTRACT

Maximum scattered subspaces are not only objects of intrinsic interest in finite geometry but also powerful tools for the construction of MRD-codes, projective two-weight codes, and strongly regular graphs. In 2018 Csajbók, Marino, Polverino, and Zanella introduced a new family of maximum scattered subspaces in $\mathbb{F}_{q^6} imes \mathbb{F}_{q^6}$ arising from polynomials of type $f_b(x)=bx^q+x^{q^4}$ for certain choices of $b \in \mathbb{F}_{q^6}$. Throughout characterizations for $f_{b_2}(x)$ and $f_{b_1}(x)$ giving rise to equivalent maximum scattered subspaces, the authors conjectured that the portion of new and inequivalent maximum scattered subspaces obtained in this way is quite large. In this paper first we find necessary and sufficient conditions for $b$ to obtain a maximum scattered subspace. Such conditions were found independently with different techniques also by Polverino and Zullo 2019. Then we prove the conjecture on the number of new and inequivalent maximum scattered subspaces of this family.

研究の動機と目的

• Csajbók ら（2018）の予想7.5を解決すること：$\mathbb{F}_{q^6} \times \mathbb{F}_{q^6}$ 内の形 $U_b = \{(x, bx^q + x^{q^4})\}$ の非同値な最大散乱部分空間の数を特定すること。
• 任意の素数冪 $q$ に対して、$\mathrm{GL}(2,q^6)$-同値類の正確な数を特定すること。
• 部分空間 $U_b$ が最大散乱であるための $b \in \mathbb{F}_{q^6}$ に関する必要十分条件を、関連する $q$-多項式の核の解析を用いて確立すること。
• 特にトレース条件と有限体における根の数え上げを用いた代数幾何学的手法により、これらの部分空間を分類すること。

提案手法

• すべての $m \in \mathbb{F}_{q^6}$ に対して $\dim_{\mathbb{F}_q}(\ker r_{m,b}) \leq 1$ が成り立つことを要請することで、$q$-多項式 $r_{m,b}(x) = mx + bx^q + x^{q^4}$ の核を $\mathbb{F}_{q^6}$ 上で解析することにより、最大散乱部分空間 $U_b$ を特徴付ける。
• 特に、$\mathbb{F}_{q^2} \setminus \mathbb{F}_q$ 内の有理関数 $L$ に対して $\mathrm{Tr}_{q/2}(\alpha) = 0$ となるような $b$ の条件を、$\mathbb{F}_q$ 上のトレース恒等式を用いて導出する。
• 核制約から導かれるトレース条件を満たす、$\mathbb{F}_q$ 上の3次多項式方程式 $F(T) = (T+K)(T+L)(T+L^q)$ の解の数を数える。
• $\mathbb{F}_q$ 内の異なる根の数（0個、1個、2個、3個）に応じて解を分類し、組合せ論的および代数幾何学的議論を用いて個数を計算する。
• 既約な二次曲線と有理点の理論を応用し、$K^2(U^2+U) = V(K+1)$ のような方程式のアフィン解の数を数える。ここで $V = L^2/(L^2+1)$ である。
• トレース条件を満たす既約、3次、重根をもつ多項式の個数を組み合わせ、最終的な有効な $b$-パrameter の総数を計算し、同値類の総数に到達する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathrm{GL}(2,q^6)$-同値類として、$\mathbb{F}_{q^6} \times \mathbb{F}_{q^6}$ 内の形 $U_b = \{(x, bx^q + x^{q^4})\}$ の最大散乱部分空間がいくつ存在するか？
• RQ2 $b \in \mathbb{F}_{q^6}$ に対して、$U_b$ が最大散乱であるための必要十分条件は何か？
• RQ3 このような同値類の数は $q$ に依存するが、予想された式 $\lfloor(q^2+q+1)(q-2)/2\rfloor$ と一致するか？
• RQ4 これらの部分空間の分類は、有限体上でのトレース方程式の解の数え上げに帰着可能か？

主な発見

• $\mathrm{GL}(2,q^6)$-同値類の数は正確に $\lfloor(q^2 + q + 1)(q - 2)/2\rfloor$ 個であり、Csajbók ら（2018）の予想7.5を確認する。
• 任意の $b \in \mathbb{F}_{q^6}$ に対して、部分空間 $U_b$ が最大散乱であるための必要十分条件は、$q$-多項式 $r_{m,b}(x) = mx + bx^q + x^{q^4}$ がすべての $m \in \mathbb{F}_{q^6}$ に対して $\mathbb{F}_q$-核の次元が1以下であることである。
• 有効な $b$-パrameter の総数は $3\gamma_0 + \frac{q - 2\gcd(n,2)}{2}$ に等しく、ここで $\gamma_0$ はトレース条件を満たす既約な3次多項式の個数であり、$\gamma_0 = \frac{q^3 - q^2 - 2q + 2\gcd(n,2) - 2}{6}$ である。
• $q$ が偶数の場合、同値類の数は正確に $\frac{1}{2}(q^3 - q^2 - q - 2)$ に等しく、$\mathbb{F}_q$ 内に0個、1個、2個、または3個の根を持つ多項式の個数を組み合わせることで得られる。
• 分類は、$U \in \mathbb{F}_q$ を満たす方程式 $U^2 + U = \frac{1}{K+1}$（$K \in \mathbb{F}_q \setminus \{0,1\}$）の解の数を、二次曲線の幾何学的性質を用いて数えることにより行われる。
• この結果により、線形同値に関してこれらの部分空間が完全に分類され、新しいMRD符号、2重重みの射影的符号、強正則グラフを構成するための基盤が提供される。