[論文レビュー] On a conjecture of Erdos and Simonovits: Even Cycles

Peter Keevash, Benny Sudakov+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2011

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 29被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、極値的グラフ理論におけるErdřとSimonovitsの予想を証明し、偶数サイクル $χ_{2\ell}$ に加えて、奇数サイクル $C_k$（$k > 2\ell$ で奇数）を禁じることで、$\ell \in \{2,3,5\}$ の場合に、Turán数がZarankiewicz数 $\mathrm{z}(n,\mathcal{C}_{2\ell})$ に漸近的に一致することを示している。主な結果は安定性の確立である：ほぼ極値的なグラフは双子的かつ擬似ランダムであり、極値的なグラフは十分に大きな $n$ に対して一般化多角形のインシデントグラフとなる。

ABSTRACT

Let $\mc{F}$ be a family of graphs. A graph is {\em $\mc{F}$-free} if it contains no copy of a graph in $\mc{F}$ as a subgraph. A cornerstone of extremal graph theory is the study of the {\em Turán number} $ex(n,\mc{F})$, the maximum number of edges in an $\mc{F}$-free graph on $n$ vertices. Define the {\em Zarankiewicz number} $z(n,\mc{F})$ to be the maximum number of edges in an $\mc{F}$-free {\em bipartite} graph on $n$ vertices. Let $C_k$ denote a cycle of length $k$, and let $\mc{C}_k$ denote the set of cycles $C_{\ell}$, where $3 \le \ell \leq k$ and $\ell$ and $k$ have the same parity. Erdős and Simonovits conjectured that for any family $\mc{F}$ consisting of bipartite graphs there exists an odd integer $k$ such that $ex(n,\mc{F} \cup \mc{C}_k) \sim z(n,\mc{F})$. They proved this when $\mc{F}={C_4}$ by showing that $ex(n,\{C_4,C_5\}) \sim z(n,C_4)$. In this paper, we extend this result by showing that if $\ell \in \{2,3,5\}$ and $k > 2\ell$ is odd, then ${ex(n,\mc{C}_{2\ell} \cup {C_k}) \sim z(n,\mc{C}_{2\ell})$. Furthermore, if $k > 2\ell + 2$ is odd, then for infinitely many $n$ we show that the extremal $\mc{C}_{2\ell} \cup \{C_k\}$-free graphs are bipartite incidence graphs of generalized polygons. We observe that this exact result does not hold for any odd $k < 2\ell$, and furthermore the asymptotic result does not hold when $(\ell,k)$ is $(3,3)$, $(5,3)$ or $(5,5)$. Our proofs make use of pseudorandomness properties of nearly extremal graphs that are of independent interest.

研究の動機と目的

• 偶数サイクル $\mathcal{C}_{2\ell}$ の場合に $\ell \notin \{2,3,5\}$ のとき、Turán数 $\mathrm{ex}(n,\mathcal{C}_{2\ell})$ を決定する長年の未解決問題に取り組むため、追加の奇数サイクルを禁じる効果を調査すること。
• Erdř-Simonovits予想を拡張する。この予想は、双子的グラフ族に単一の奇数サイクル $C_k$ を追加することで、極値的な辺数がZarankiewicz数 $\mathrm{z}(n,\mathcal{F})$ に一致する可能性を示唆している。
• ほぼ極値的な $\mathcal{C}_{2\ell} \cup \{C_k\}$-自由グラフが擬似ランダムかつ双子的であり、一般化多角形のインシデントグラフに密接に類似していることを示す安定性定理を確立すること。
• 極値的なグラフの構造的洞察を提供するため、$k > 2\ell + 2$ の場合に、極値的なグラフが無限に多くの $n$ に対して一般化多角形の双子的インシデントグラフであることを証明すること。
• 予想の限界を特定する。$k$ が小さい場合、たとえば $\ell=3$ や $5$ のとき $k=3$ などに予想が成り立たないことを示し、これらのケースでは漸近的結果が成立しないこと。

提案手法

• ほぼ極値的なグラフの擬似ランダム性の性質を用いて、近隣の成長と彩色数を制御し、スペクトル的および組合せ的議論を活用する。
• 最小次数の条件を満たすために頂点削除プロセスを適用し、固有値および部分グラフ数え上げ技術の使用を可能にする。
• 距離に基づく近隣拡張議論を用いて、近隣 $N_r(v)$ のサイズを抑え、これらの集合に誘導される部分グラフの彩色数が有界であることを示す。
• $r \leq 2\ell$ のとき $G[N_r(v)]$ の平均次数が $2k$ 未満であることを用い、彩色数が高々 $2k$ であることを示し、これを偶奇に基づく独立集合の性質と組み合わせて $\chi(G)$ を抑え込む。
• 先行研究の擬似ランダム性の補題の非双子的版を適用し、固有値の集中と辺の分布に関する結果を導出する。
• 有限幾何学からの極値的グラフ構成——特に一般化多角形のインシデントグラフ——を用いて、タイトな下界を確立し、漸近的等価性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 奇数サイクル $C_k$ を $k > 2\ell$ で禁じることで、$\mathcal{C}_{2\ell}$-自由グラフにおける極値的な辺数が、Zarankiewicz数 $\mathrm{z}(n,\mathcal{C}_{2\ell})$ に一致するのか？
• RQ2 Erdř-Simonovits予想が $\ell \in \{2,3,5\}$ の場合に $\mathcal{F} = \mathcal{C}_{2\ell}$ に対して検証可能か？ また、$k$ に必要な条件は何か？
• RQ3 ほぼ極値的な $\mathcal{C}_{2\ell} \cup \{C_k\}$-自由グラフは擬似ランダムかつ双子的であり、一般化多角形のインシデントグラフに類似しているか？
• RQ4 漸近的等式 $\mathrm{ex}(n,\mathcal{C}_{2\ell} \cup \{C_k\}) \sim \mathrm{z}(n,\mathcal{C}_{2\ell})$ が何らかの条件下で成り立たない場合、その理由は何か？ なぜ小さな $k$ に対して反例が生じるのか？
• RQ5 ほぼ極値的なグラフの彩色数は、最小次数とサイクル長の観点から有界に抑えられるか？ これによりグラフの構造にどのような含意が生じるか？

主な発見

• $\ell \in \{2,3,5\}$ および奇数 $k > 2\ell$ の場合、Turán数は $\mathrm{ex}(n,\mathcal{C}_{2\ell} \cup \{C_k\}) \sim \mathrm{z}(n,\mathcal{C}_{2\ell})$ を満たし、Erdř-Simonovits予想がこの場合に確認された。
• $\mathcal{C}_{2\ell} \cup \{C_k\}$-自由グラフで平均次数 $d = \Theta(n^{1/\ell})$ を持つものは、少なくとも $d^{\ell+1} - o(n^{1+1/\ell})$ 様式の辺を持つ双子的部分グラフを含む。
• $d \geq (1+o(1))(n/2)^{1/\ell}$ のとき、平均次数は $d \sim (n/2)^{1/\ell}$ を満たし、極値的グラフの辺数は $e(G) \sim (n/2)^{1+1/\ell}$ を満たす。
• $k > 2\ell + 2$ で無限に多くの $n$ に対して、極値的な $\mathcal{C}_{2\ell} \cup \{C_k\}$-自由グラフは一般化多角形の双子的インシデントグラフである。
• $k < 2\ell$ の場合に結果は成り立たず、$(\ell,k) \in \{(3,3),(5,3),(5,5)\}$ の場合に漸近的結果は成立しないことから、$k > 2\ell$ 条件の必要性が示された。
• ほぼ極値的なグラフの彩色数は $\chi(G) < (4k)^{\ell+1}/c^\ell$ で抑えられ、ここで $c$ は最小次数に関連する定数であり、構造の正則性を示している。