[論文レビュー] On a conjecture of Jacquet

Michael Harris, Stephen S. Kudla|ArXiv.org|Nov 21, 2001

Advanced Algebra and Geometry参考文献 21被引用数 25

ひとこと要約

本稿は、最近のラマヌジャン推定値の改善を活用することで、拡張されたシーゲル＝ヴァイユの公式とシー・セイ・アイデンティティを用いて、数体上のGL2の3つのカスプ的自動形式表現の三重積L関数の中心値の非消滅に関するジャケットの予想を証明する。主な結果は、L(1/2, π₁⊗π₂⊗π₃) ≠ 0 であることは、体k上のクaternion代数Bと、fᵦⁱ ∈ πᵦⁱ である自動形式fᵦⁱ が存在して、三重積分 ∫_{Z(A)B×(k)\B×(A)} f₁ᵇ(b)f₂ᵇ(b)f₃ᵇ(b) d×b ≠ 0 であることに同値であることを確立する。

ABSTRACT

In this note, we prove in full generality a conjecture of Jacquet concerning the nonvanishing of the triple product L-function at the central point. Let $\kay$ be a number field and let $π_i$, $i=1$, 2, 3 be cuspidal automorphic representations of $GL_2(\A)$ such that the product of their central characters is trivial. Then the central value $L(\frac12,π_1\otimesπ_2\otimesπ_3)$ of the triple product L--function is nonzero if and only if there exists a quaternion algebra $B$ over $\kay$ and automorphic forms $f_i^B\in π_i^B$, such that the integral of the product $f_1^B f_2^B f_3^B$ over the diagonal $Z(\Bbb A) B^ imes(\kay) B^ imes(\Bbb A)$ is nonzero, where $π_i^B$ is the representation of $B^ imes(\A)$ corresponding to $π_i$. In a previous paper, we proved this conjecture in the special case where $\kay=\Q$ and the $π_i$'s correspond to a triple of holomorphic newforms. Recent improvement on the Ramanujan bound due to Kim and Shahidi, results about the local L-factors due to Ikeda and Ramakrishnan, results of Chen-bo Zhu and Sahi about invariant distributions and degenerate principal series in the complex case, and an extension of the Siegel--Weil formula to similitude groups allow us to carry over our method to the general case.

研究の動機と目的

• 三重積L関数の中心値の非消滅が、クaternion代数上での非消滅三重線形形式の存在と関係することを示すジャケットの予想を証明すること。
• 有理数体Q上での正則新形式に関する以前の結果を、一般の数体およびGL2の任意のカスプ的表現へと拡張すること。
• シー・セイ・アイデンティティ、L関数の積分表現、および拡張されたシーゲル＝ヴァイユの公式を用いて、予想の妥当性を確立すること。
• 従来のホロモーフィック新形式とRamanujan予想に基づく制限を克服するため、最近のラマヌジャン推定値の改善を活用すること。

提案手法

• GSp6上のイーゼンスタイン級数と分解可能データを用いた三重積L関数のグローバルゼータ積分表現を利用する。
• GSp6と(GL2)³間のシー・セイ双対性を応用し、L関数をクaternion代数上の三重線形周期と関連付ける。
• 類似群に対する拡張されたシーゲル＝ヴァイユの公式を用いて、L関数の中心値を、GSp6上のtheta上りと自動形式と関連付ける。
• meromorphicな解析接続と、bG(s) = ζk(2s+2)ζk(4s+2)による留数正規化を伴う正規化イーゼンスタイン級数 E∗(g, s, Φs) を用いる。
• 有限および非アーチメデス的位相における局所ゼータ積分 Zv(s, Wψ,v, Φs,v) を適用し、Kim–Shahidiによるラマヌジャン推定値を用いて、正規化積分の整関数性を保証する。
• S(V(A)³)H(A) ≅ Π(V) であるコインvariant空間と、非退化空間に対するtheta積分の正則化を用いて、グローバルtheta上りを定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 数体A上のカスプ的表現πiのGL2に対して、中心値 L(1/2, π₁⊗π₂⊗π₃) が非ゼロである条件は何か？
• RQ2 クaternion代数上での非ゼロ三重線形周期積分の存在が、三重積L関数の非ゼロ性を示唆するのはいつか？
• RQ3 シー・セイ・アイデンティティと拡張されたシーゲル＝ヴァイユの公式をどのように用いて、数体上でのジャケット予想を一般に証明できるか？
• RQ4 改善されたラマヌジャン推定値は、Q上でのホロモーフィック新形式に依存する以前の証明の制限をどのように取り除くか？
• RQ5 グローバルゼータ積分表現は、GSp6上の自動形式をクaternion群上の三重線形汎関数と関連付けるのに使えるか？

主な発見

• 中心値 L(1/2, π₁⊗π₂⊗π₃) が非ゼロであることと、体k上のクaternion代数Bと、fᵦⁱ ∈ πᵦⁱ である自動形式fᵦⁱ が存在して、三重積分 ∫_{Z(A)B×(k)\B×(A)} f₁ᵇ(b)f₂ᵇ(b)f₃ᵇ(b) d×b ≠ 0 であることは同値である。
• Kim–Shahidiによる改善されたラマヌジャン推定値を用いることで、Ramanujan予想に依存する以前のQ上での正則新形式に関する結果を一般化した。
• 類似群に対する拡張されたシーゲル＝ヴァイユの公式を洗練された形で適用し、グローバルtheta上りがL関数の中心値が非ゼロであるときに限り非ゼロになるように保証した。
• アーチメデス的位相では、有限個のWhittaker関数と切断関数の集合が、s = 0における局所ゼータ積分の和が1に等しくなるように保証され、グローバルな制御が可能になった。
• 根数 ǫ(1/2, π₁⊗π₂⊗π₃) = −1 である場合、関数等式により中心L値は消えるが、これは不変三重線形形式の不在と整合的である。
• 三重線形周期が非ゼロであるとき、L(1/2, π₁⊗π₂⊗π₃) · Z∗(F, Φ) = 2ζk(2)² · I(f₁ᵇ, f₂ᵇ, f₃ᵇ)² が成り立ち、L値と自動形式周期を結びつける。