[論文レビュー] On a Derivation of the Dirac Hamiltonian From a Construction of Quantum Gravity

Johannes Aastrup, Jesper Møller Grimstrup+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2010

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ホロノミー・ループ上のスペクトル三重項を用いた非可換幾何的量子重力構成から、3+1次元のディラックハミルトニアンを導出する。ベースポイント依存性をユニタリ遷移作用素によって除去することで、フレームワークは自然にスピノル場を生成し、半古典的極限においてディラックハミルトニアンの構造を提示する。スピンでは、2倍の自由度を有し、ガンマ行列は右から作用する。

ABSTRACT

The structure of the Dirac Hamiltonian in 3+1 dimensions is shown to emerge in a semi-classical approximation from a abstract spectral triple construction. The spectral triple is constructed over an algebra of holonomy loops, corresponding to a configuration space of connections, and encodes information of the kinematics of General Relativity. The emergence of the Dirac Hamiltonian follows from the observation that the algebra of loops comes with a dependency on a choice of base-point. The elimination of this dependency entails spinor fields and, in the semi-classical approximation, the structure of the Dirac Hamiltonian.

研究の動機と目的

• 非可換幾何的量子重力フレームワーク内で、ディラックハミルトニアンの自然な導出を確立すること。
• 事前に手作業で設計された半古典的状態の不自然さを解消し、ディラックハミルトニアンを再現するように設計されたものである。
• ループ代数におけるベースポイント依存性がスピン構造の起源であり、その除去がディラックハミルトニアンの導出をもたらすことを示すこと。
• ユニタリ遷移作用素を介して、量子重力の配置空間におけるベースポイント依存性を物理的に一貫した状態ベースのメカニズムで除去する方法を提供すること。
• これらの作用素から構成されたコherent状態が、半古典的極限においてディラックハミルトニアンを生成することを示すこと。

提案手法

• 固定された点に基点を持つ微細化された立方格子上のホロノミー・ループに基づく非可換*-代数を構成し、積は基点での接続によって定義する。
• このループ代数を用いて接続の配置空間上にスペクトル三重項を定義し、アシュテカール変数を介して正準量子重力の運動論的構造を符号化する。
• ベースポイントの変更を実装するユニタリ作用素 $\tilde{{\cal U}}_l$ を導入し、表現 $\pi_p$ を $\pi_q = \tilde{{\cal U}}_l \pi_p \tilde{{\cal U}}_l^*$ によって $\pi_q$ に変換する。
• 物理的状態を $|\Psi\rangle = \sum_l \tilde{{\cal U}}_l \psi_l \phi_n^t$ の重ね合わせとして構成し、$\phi_n^t$ を $SU(2)$ 上のホールのコherent状態とする。これにより、ベースポイント依存性が保証される。
• これらの状態におけるディラック型作用素 $D$ の半古典的期待値を計算し、無限大への格子微細化および狭いコherent状態幅 $t \to 0$ の極限を取る。
• 極限 $\lim_{n\to\infty}\lim_{t\to 0}\langle \bar{\Psi}^t_n | tD | \Psi^t_n \rangle$ を用いて、古典的ディラックハミルトニアン構造を抽出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3+1次元のディラックハミルトニアンは、恣意的な状態設計を避けて、量子重力構成から自然に出現するか？
• RQ2 ホロノミー・ループ代数におけるベースポイント依存性は、スピン構造の出現とどのように関係しているか？
• RQ3 ユニタリ遷移作用素 $\tilde{{\cal U}}_l$ は、ベースポイント依存性の除去と物理的状態の生成において果たす役割は何か？
• RQ4 なぜこの構成では、出現するスピンが標準の自由度の2倍持つのか？
• RQ5 ガンマ行列のスピンに右から作用する性質は、スペクトル三重項構成からどのように生じるのか？

主な発見

• ベースポイントに依存しないコherent状態 $\Psi^t_n(\psi)$ におけるディラック型作用素 $D$ の半古典的期待値は、$\int_{\Sigma} d^3x\, \bar{\psi}(x)(\sqrt{g}e_a^m\nabla_m + \nabla_m\sqrt{g}e_a^m)\psi(x)(N(x)\gamma^a + iN^a(x)\gamma^0)$ の形を取り、3+1次元ディラックハミルトニアンの構造と一致する。
• 出現するスピン場は $M_2(\mathbb{C}) \oplus M_2(\mathbb{C})$ に値をとり、標準のフェルミオン自由度が2倍に増加していることを示している。
• ガンマ行列 $\gamma^a$ はスピン場に対して右から作用しており、ディラック方程式における標準的な左作用とは異なる。
• 遷移作用素 $\tilde{{\cal U}}_l$ がユニタリでないことは、対称性を破るシフト場 $N^a(x)$ の存在と直接関係している。
• 正規化係数 $\mathcal{N} = 2^{3(n-1)/2}$ は、$n \to \infty$ の連続極限でLebesgue測度への還元を保証し、半古典的測度の妥当性を裏付けている。