[論文レビュー] On a fast and nearly division-free algorithm for the characteristic polynomial

Fredrik Johansson|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2020

Polynomial and algebraic computation参考文献 23被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、Faddeev-Leverrier法のベビーステップ・ジャイアントステップ版を応用し、除算をほとんど行わない最適化されたアルゴリズムを提示している。特徴多項式、行列式、余因子行列の計算に用いられ、計算量の漸近的複雑度を $O(n^{\rho+0.5} + n^3)$ に改善し、メモリ使用量も削減している。実験的評価により、Berkowitz法を上回り、特に大きな $n$ に対しては $O(n^3)$ の手法と同等の性能を示している。

ABSTRACT

We review the Preparata-Sarwate algorithm, a simple $O(n^{3.5})$ method for computing the characteristic polynomial, determinant and adjugate of an $n imes n$ matrix using only ring operations together with exact divisions by small integers. The algorithm is a baby-step giant-step version of the more well-known Faddeev-Leverrier algorithm. We make a few comments about the algorithm and evaluate its performance empirically.

研究の動機と目的

• 特徴多項式、行列式、余因子行列の計算のための、実用的で効率的なPreparata-Sarwate法の変種を提示すること。
• Preparata-Sarwate法は優れた漸近的複雑度を有するが、広く実装されておらず認知されていないという点を是正すること。
• さまざまな環と精度設定において、Preparata-Sarwate法の性能をBerkowitz法やFaddeev-Leverrier法と比較して実験的に評価すること。
• 除算が高価または不安定な場合に生じる問題に対処する高精度算術や多変数多項式商環へのアルゴリズムの適用可能性を調査すること。
• 除算フリー計算における理論的利点に加え、実用的性能が優れていることから、Preparata-Sarwate法の広範な採用を提言すること。

提案手法

• Preparata-Sarwate法をベビーステップ・ジャイアントステップ戦略で変形し、行列乗算の回数を $O(n)$ から $O(n^{0.5})$ に削減する。
• 中間行列を再利用することで、空間計算量を $O(n^{2.5})$ から $O(n^{2.5})$ に半減させるメモリ最適化版を導入する。
• 1, 2, \ldots, n などの小さな整数による正確な除算を採用し、一般の除算を必要とせず、すべての演算を環 $R$ 内で行うように保証する。
• 繰り返し二乗法で行列のべき $A^k$ を計算し、中間的な累積計算により特徴多項式の係数のトレースを算出する。
• Arbコンピュータ代数システムを用い、ボール算術を活用して数値的安定性と精度損失を評価する実装を行う。
• 制御された精度設定下で、ヘッセンベルク還元、LU分解、QRベースの固有値計算、Berkowitz法、Faddeev-Leverrier法の変種など、複数のアルゴリズムの性能を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高精度算術において、Preparata-Sarwate法を実用的に最適化・実装することで、標準的な $O(n^3)$ 手法と同等の性能を発揮できるか？
• RQ2 さまざまな環と行列サイズにおいて、Preparata-Sarwate法の速度と数値的安定性がBerkowitz法やFaddeev-Leverrier法と比べてどのように異なるか？
• RQ3 除算が高価で、要素の増大が懸念される多変数多項式商環においても、このアルゴリズムはその利点を維持できるか？
• RQ4 ボール算術における除算フリーなアルゴリズムの精度損失はどの程度であり、Hessenberg還元のような数値的に安定な手法と比べてどうか？
• RQ5 標準的手法がゼロピボットや不安定性のため失敗した場合、Preparata-Sarwate法が高精度線形代数における信頼できる代替手段として機能できるか？

主な発見

• 高精度ボール算術において、Preparata-Sarwate法はヘッセンベルク還元より約4倍遅いが、より頑健で誤りに強い。
• $n \approx 50$ の大きな行列に対しては、Preparata-Sarwate法（Alg2）がBerkowitz法を上回り、実用的に $O(n^3)$ 手法と同等の性能を示す。
• アルゴリズムは $O(n^{\rho+0.5} + n^3)$ の複雑度を示し、実際には $n^3$ 項が無視できるほど小さい。空間最適化実装により、メモリ使用量も改善されている。
• ボール算術において、すべての除算フリーなアルゴリズム（Preparata-Sarwate法、Berkowitz法、Faddeev-Leverrier法）は $O(n)$ 段階の精度損失を示すが、LU法やヘッセンベルク法の方がより安定している。
• 多変数多項式商環では、行列要素の急激な増大により、アルゴリズムの性能が著しく劣化する。これは、$A$ での繰り返し乗算が $A^k$ での乗算よりも高価であるためである。
• 理論的利点があるにもかかわらず、Preparata-Sarwate法は実用的にあまり使われていない。これは認知不足や実装の欠如によるものであり、$n$ が大きい場合にはBerkowitz法よりも高速であるにもかかわらずである。