[論文レビュー] On a new unified geometric description of gravity and electromagnetism

Nicoleta Voicu|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2011

Advanced Differential Geometry Research被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、時空の接 bundle $TM$ 上の接続のリッチスカラーとして、アインシュタイン＝マクスウェルラグランジアンを定式化することにより、重力と電磁気の統一的な幾何学的枠組みを提案する。体積および発散性の性質を保つ $TM$ 上の計量補完を構築することで、1パラメータ族の接続 $\overset{\alpha}{D}$ のリッチスカラーが、標準的なアインシュタイン＝マクスウェル作用と動的に同等であることを示し、変分原理を用いて全場方程式および保存則を導出可能であることを明らかにする。

ABSTRACT

In a previous paper, we have introduced a new unified description of the main equations of the gravitational and of the electromagnetic field, in terms of tidal tensors and connections on the tangent bundle TM of the space-time manifold. In the present work, we relate these equations to variational procedures on the tangent bundle. The Ricci scalar of the proposed connection is dynamically equivalent to the usual Einstein-Maxwell Lagrangian. Also, in order to be able to perform these variational procedures, we find an appropriate completion of the metric tensor (from the base manifold) up to a metric structure on TM.

研究の動機と目的

• 時空の接 bundle $TM$ を用いた重力と電磁気の幾何学的統一を、余剰次元を避ける形で構築すること。
• アインシュタインテンソルに電磁気的ストレステンソルを埋め込むために、リッチスカラーがアインシュタイン＝マクスウェルラグランジアンを再現する $TM$ 上の接続を構築すること。
• $M$ 上の関数の積分および発散構造が保たれるように、$TM$ 上に体積要素および計量補完を定義すること。
• $TM$ 上の単一の変分原理から、アインシュタイン場方程式、ローレンツ力則、ワールドラインずれ方程式を導出すること。
• 標準相対論におけるエネルギー運動量保存則に対応する、$TM$ 上の保存則を確立すること。

提案手法

• 接 bundle $TM$ 上に1パラメータ族の接続 $(\overset{\alpha}{N}, \overset{\alpha}{D})$ を導入する。ここで $\overset{\alpha}{N}$ はエレスマン接続、$\overset{\alpha}{D}$ はアフィン接続である。
• 接続 $\overset{\alpha}{D}$ を用いて、$TM$ 上の測地線ずれにより潮汐テンソルを定義し、これと電磁場テンソル $F_{ij}$ を関連付ける。
• 関数 $M$ 上の積分が $\Delta \times \tilde{\Delta}$ 上の積分と一致するように、$TM$ 上に計量補完を構築し、体積および発散構造を保つ。
• 接続 $\overset{\alpha}{D}$ のリッチスカラー $\tilde{R}$ を導出し、これがアインシュタイン＝マクスウェルラグランジアンと動的に同等であることを示す：$\tilde{R} = r + \frac{3\alpha^2}{2}F_{ij}F^{ij}$。
• $TM$ 上での変分手続きを実施し、電磁気的寄与を含む一般化されたアインシュタインテンソル $\mathcal{G}_{ij} = \tilde{R}_{ij} - \frac{1}{2}\tilde{R}g_{ij} + \mathcal{B}_{ij}$ を得る。
• 接続 $\overset{\alpha}{D}$ のバイオッチ恒等式とマクスウェル方程式が、$TM$ 上で $\nabla_j(\mathcal{G}^{ij} - \frac{8\pi k}{c^4}\overset{m}{T}^{ij}) = 0$ という保存則を導くことを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アインシュタイン＝マクスウェルラグランジアンは、時空の接 bundle $TM$ 上の接続のリッチスカラーとして幾何学的に実現可能か？
• RQ2 $M$ 上の積分および発散構造が保たれるように、$TM$ 上に計量構造をどのように構築できるか？
• RQ3 荷電粒子の運動方程式およびそのずれは、$TM$ 上の単一の接続から導出可能か？
• RQ4 接続 $\overset{\alpha}{D}$ から得られる一般化されたアインシュタインテンソルは、電磁気的ストレステンソルを含む標準的なアインシュタイン場方程式を再現するか？
• RQ5 $M$ 上でのエネルギー運動量保存則は、$TM$ 框組みにおける一般化されたアインシュタインテンソル $\mathcal{G}_{ij}$ の発散ゼロ条件と同等か？

主な発見

• 接続 $\overset{\alpha}{D}$ のリッチスカラー $\tilde{R}$ は、アインシュタイン＝マクスウェルラグランジアンと動的に同等である：$\tilde{R} = r + \frac{3\alpha^2}{2}F_{ij}F^{ij}$。
• $\alpha^* = \sqrt{2k/(3c^4)}$ のとき、リッチスカラー $\tilde{R}(\alpha^*)$ は標準的なアインシュタイン＝マクスウェル作用を与える：$S_{fg}(\alpha^*) = -\frac{c^3}{16\pi k}\int (r + \frac{k}{c^4}F_{ij}F^{ij})\sqrt{-g}d^4x$。
• 一般化されたアインシュタインテンソル $\mathcal{G}_{ij} = \tilde{R}_{ij} - \frac{1}{2}\tilde{R}g_{ij} + \mathcal{B}_{ij}$ は、$\mathcal{B}_{ij} = \frac{3}{2}\frac{B^lB_l}{\|y\|^2} + \frac{1}{2}B_h^i B_i^h$ を通じて電磁気的寄与を含む。
• 物質を含むアインシュタイン場方程式は、$\mathcal{G}_{ij} = \frac{8\pi k}{c^4}\overset{m}{T}_{ij}$ として導出される。ここで $\overset{m}{T}_{ij}$ は物質のストレステンソルである。
• バイオッチ恒等式とマクスウェル方程式の結果として、$TM$ 上で保存則 $\nabla_j(\mathcal{G}^{ij} - \frac{8\pi k}{c^4}\overset{m}{T}^{ij}) = 0$ が成立する。
• 荷電粒子の運動方程式は $\frac{\overset{\alpha}{D}y^i}{dt} = 0$ であり、ワールドラインずれ方程式は $\frac{\overset{\alpha}{D}^2 w^i}{dt^2} = \overset{\alpha}{E}_j^i w^j$ である。ここで $\alpha = \frac{q}{mc^2}$ である。