[論文レビュー] On a rationality question in the Grothendieck ring of varieties

Ene Esnault, Eckart Viehweg|ArXiv.org|Aug 16, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、代数的多様体のグロテンディーク環における合理性の問題を調査し、有限群の作用によるベクトル空間の商に焦点を当てる。有限アーベル群 $ G $ が $ K $-ベクトル空間 $ V $ に線形的に作用する場合、$ K/k $ が群 $ \Gamma $ を持つガロア拡張であり、$ k $ がすべての $ |G| $ 乗根の単位根を含むとき、$ K_0(\mathrm{Var}_k) $ 内でクラス $[V/G]$ が $ \mathbb{L}^{\dim_K V} $ に等しいことを確立する。これはルイエンジャの結果を一般化し、降下のための単位根の必要性を強調する。

ABSTRACT

This is a small note meant to be published in a Conference Proceedings. We discuss elementary rationality questions in the Grothendieck ring of varieties for the quotient of a finite dimensional vector space over a characteristic 0 field by a finite group. Part of it reproduces the content of a letter dated September 27, 2008 addressed to Johannes Nicaise

研究の動機と目的

• グロテンディーク環 $ K_0(\mathrm{Var}_k) $ 内で、商多様体 $ V/G $ のクラスが合理性を示す、すなわちリーマン・クラス $ \mathbb{L} $ のべきに等しいときを理解すること。
• 基本体の非自明なガロア拡張に一般化して、アーベル群作用に関するルイエンジャの結果を拡張すること。
• 基本体に十分な単位根が存在しない場合、グロテンディーク環における降下の失敗を調査すること。
• 群の作用が体およびベクトル空間に与える影響が、$ K_0(\mathrm{Var}_k) $ 内のクラスを決定する役割を明確にすること。

提案手法

• スシッター関係と積構造を用いて定義されるグロテンディーク環 $ K_0(\mathrm{Var}_k) $ を用いて、商多様体のクラスを研究する。
• 弱因数分解定理と同型 $ K_0(\mathrm{Var}_k)/\langle \mathbb{L} \rangle \cong \mathbb{Z}[SB] $ を用いて関係を分析する。
• 降下技術とエタールコホノロジーを用いて、$ G $- torsor とザリスキ局所自明なファイバー束を研究する。
• 平坦な降下を用いて、特定のファイバー束がザリスキ局所自明であることを示し、$ K_0(\mathrm{Var}_k) $ 内でのクラスの分解を可能にする。
• $ V $ を $ G $-加群としての既約因子の数に関する帰納法を適用する。
• $ G $ が $ \mathrm{Spec}\,K $ に作用する様子を分析し、$ T = Y/X $ を保存する巡回行列による作用の下で作用が自明であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限アーベル群 $ G $ が $ K $-ベクトル空間 $ V $ に作用するとき、$ K_0(\mathrm{Var}_k) $ 内で $[V/G] = \mathbb{L}^{\dim_K V}$ が成り立つ条件は何か？
• RQ2 単位根が欠落している場合、特に $ k $ が $ |G| $ 乗根を含まない場合、$[V/G]$ の合理性が基本体の拡張と整合するか？
• RQ3 基本体へのガロア作用が、$ V/G $ のグロテンディーク環内でのクラスを決定する上で果たす役割は何か？
• RQ4 $ k $ がすべての $ |G| $ 乗根を含まない場合、降下の失敗はどのように現れるか？
• RQ5 基本体への作用が非自明な場合、クラス $[V/G]$ はより単純なクラスの組み合わせとして表現可能か？

主な発見

• 有限アーベル群 $ G $ が商 $ G \to \Gamma $ を持ち、$ K/k $ が群 $ \Gamma $ を持つガロア拡張であり、$ k $ がすべての $ |G| $ 乗根の単位根を含むとき、$ K_0(\mathrm{Var}_k) $ 内で $[V/G] = \mathbb{L}^{\dim_K V} $ が成り立つ。
• $ k $ がすべての $ |G| $ 乗根の単位根を含むという条件は必要不可欠であり、例 1.2 で示されるように、$ \mathbb{L}^2 \neq [V/G] $ が $ K_0(\mathrm{Var}_{\mathbb{Q}}) $ 内で成り立たないため、この条件が欠落すると公式は成立しない。
• $ G $ が $ T = Y/X $ を保存する行列によって作用するとき、$ G $ は $ \mathrm{Spec}\,K $ に自明に作用する。これはクラスの分解において極めて重要である。
• 差 $[V] - [V/G]$ は $ (1 + [\mathbb{G}_m] \cdot [\mathrm{Spec}\,K]) \cdot ([W] - [W/G]) $ に分解可能であり、$ V $ の既約因子の数に関する帰納法が可能になる。
• ファイバー束 $ (D^\times \times_k W)/G \to (\mathrm{Spec}\,K \times_k W)/G $ はザリスキ局所自明な $ \mathbb{G}_m $-ファイバー束であるため、$ [(D^\times \times_k W)/G] = [\mathbb{G}_m] \cdot [\mathrm{Spec}\,K] \cdot [W/G] $ が成り立つ。
• $ K_0(\mathrm{Var}_k) $ 内でクラス $[U^{(2)}/G] $ は $[U^{(2)}] $ に等しい。なぜなら $ \mathbb{P}(U)/G \cong \mathbb{P}^1_k $ であり、$ G $ は $ \mathrm{Spec}\,K $ に自明に作用するからである。