[論文レビュー] On a series of Gorenstein cyclic quotient singularities admitting a unique projective crepant resolution

Dimitrios I. Dais, Martin Henk|ArXiv.org|Mar 20, 1998

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 35被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、$l \geq r \geq 2$ を満たす Gorenstein の巡回商特異点 $\frac{1}{l}(1,\dots,1,l-(r-1))$ が、一意なトーラス作用を保つ射影的な床元的解消を持つことを確立しており、これは $l \equiv 0$ または $1 \pmod{r-1}$ である場合に限り「完全」である。特異点の例外的因子は $\lfloor l/(r-1) \rfloor$ 個の素性の部分多様体から成り、そのうち $\lfloor l/(r-1) \rfloor - 1$ 個は $\mathbb{P}^{r-2}$ 上の $\mathbb{P}^1$-バンドルの全空間である。解消は、明示的に計算可能な交差数を持つ、正規化された吹き上げの合成として得られる。

ABSTRACT

In this paper we prove that the Gorenstein cyclic quotient singularities of type \frac 1l (1,..., 1,l-(r-1)) with $l\geq r\geq 2$, have a extit{unique}torus-equivariant projective, crepant, partial resolution, which is ``full'' iff either $l\equiv 0$ mod $% (r-1) $ or $l\equiv 1$ mod $(r-1) $. As it turns out, if one of these two conditions is fulfilled, then the exceptional locus of the full desingularization consists of $\lfloor \frac{l}{r-1} floor$ prime divisors, $\lfloor \frac{l}{r-1} floor - 1$ of which are isomorphic to the total spaces of $\Bbb{P}_{\Bbb{C}}^1$-bundles over $\Bbb{P}_{\Bbb{C}%}^{r-2}$. Moreover, it is shown that intersection numbers are computable explicitly and that the resolution morphism can be viewed as a composite of successive (normalized) blow-ups. Obviously, the monoparametrized singularity-series of the above type contains (as its ``first member'') the well-known Gorenstein singularity defined by the origin of the affine cone which lies over the $r$-tuple Veronese embedding of $\Bbb{P}_{\Bbb{C}}^{r-1}$.

研究の動機と目的

• Gorenstein の巡回商特異点 $\frac{1}{l}(1,\dots,1,l-(r-1))$ が一意な射影的床元的解消を持つ条件を特定すること。
• このような解消における例外的因子の構造、特に素性の部分多様体の数と種類を特徴づけること。
• 解消写像が正規化された吹き上げの合成として実現可能であることを示すこと。
• 解消の成分間の交差数を明示的に計算すること。
• 解消が「完全」である、すなわち特異点を最大限に解消する条件を特定すること。

提案手法

• 著者たちは、特異点の型 $\frac{1}{l}(1,\dots,1,l-(r-1))$ を、トーリック幾何とトーラス作用を保つ解消の理論を用いて分析する。
• 解消を構成するために、逐次的な正規化された吹き上げの手法を用い、それが一意的かつ射影的であることを示す。
• 関連する多面体分割に関する組合せ論的および代数的技法を用いて、例外的因子の構造を決定する。
• 例外的因子間の交差数は、$\mathbb{P}^{r-2}$ 上の $\mathbb{P}^1$-バンドルの幾何を用いて明示的に計算する。
• 解消が「完全」である条件は、$l$ が $r-1$ を法として $0$ または $1$ であるという合同条件から導かれる。
• 構成がトーラス作用と整合的であることが示され、等化性と一意性が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Gorenstein の巡回商特異点 $\frac{1}{l}(1,\dots,1,l-(r-1))$ が一意な射影的床元的解消を持つ条件は何か？
• RQ2 このような解消における例外的因子の構造、特に既約成分の数と種類は何か？
• RQ3 解消写像は、正規化された吹き上げなどの基本的変換の列にどのように分解できるか？
• RQ4 解消における例外的因子間の明示的な交差数は何か？
• RQ5 解消が「完全」とされるのはいつか？ これは $l$ の $r-1$ を法とする算術とどのように関係するか？

主な発見

• Gorenstein の巡回商特異点 $\frac{1}{l}(1,\dots,1,l-(r-1))$ で $l \geq r \geq 2$ を満たすものについては、一意なトーラス作用を保つ射影的床元的解消が存在する。
• 解消は $l \equiv 0$ または $1 \pmod{r-1}$ のときに限り「完全」であり、これはすべての特異点を最大限に解消することを意味する。
• 例外的因子は $\lfloor l/(r-1) \rfloor$ 個の素性の部分多様体から成り、そのうち $\lfloor l/(r-1) \rfloor - 1$ 個は $\mathbb{P}^{r-2}$ 上の $\mathbb{P}^1$-バンドルの全空間である。
• 例外的因子間の交差数は明示的に計算可能であり、バンドル構造と $l$ の値に依存する。
• 解消写像は、連続する正規化された吹き上げの合成として実現され、構成的かつ幾何的に明確な記述が得られる。
• この特異点系列の最初のメンバーは、$\mathbb{P}^{r-1}$ の $r$ 重バーレーゼ埋め込みのアフィン錐に対応し、よく知られた Gorenstein 特異点である。