[論文レビュー] On a set-covering property of multivalued mappings

Amos Uderzo|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Optimization and Variational Analysis参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、多値写像における線形レートでの開性性質の強化版を導入し、距離空間におけるリプシッツ摂動下での安定性と同等な特徴づけを確立している。Banach空間間の閉凸作用素のクラスがこの被覆性質を満たすことを特定し、最適化における集合包含制約付きの集合値包含および正確なペナルティ化への応用を行っている。

ABSTRACT

In this paper, a strong variant for multivalued mappings of the well-known property of openness at a linear rate is studied. Among other examples, a simply characterized class of closed convex processes between Banach spaces, which satisfies such a covering behaviour, is singled out. Equivalent reformulations of this property and its stability under Lipschitz perturbations are investigated in a metric space setting. Applications to the solvability of set-valued inclusions and to the exact penalization of optimization problems with set-inclusion constraints are discussed.

研究の動機と目的

• 多値写像における線形レートでの開性性質のより強いバージョンを調査すること。
• この被覆性質を示すBanach空間間の閉凸作用素のクラスを特定すること。
• 距離空間におけるリプシッツ摂動下でのこの性質の同等な再定式化と安定性を確立すること。
• 理論的結果を集合値包含の可解性および制約付き最適化における正確なペナルティ化に応用すること。
• 標準的な線形解析の設定を超えた被覆性質の分析のための距離空間フレームワークを提供すること。

提案手法

• 多値写像における強い被覆性質を導入し、古典的な線形レートでの開性の概念を拡張する。
• Banach空間における距離推定とメトリック正則性を用いて、この性質を特徴づける。
• 変分解析および距離空間論の道具を用いて、同等な定式化を導出する。
• 不動点および収縮の議論を用いて、リプシッツ連続な摂動下での安定性を分析する。
• 凸作用素の理論を用いて、被覆条件を満たす閉凸写像のクラスを特定する。
• 正確なペナルティ化技術を用いて、集合包含制約付き最適化問題に結果を応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多値写像における強い被覆性質の正確な特徴づけは何か。また、標準的な線形レートでの開性とはどのように異なるか。
• RQ2 どのクラスのBanach空間間の閉凸作用素がこの強い被覆性質を満たすか。
• RQ3 距離空間におけるリプシッツ摂動下で、被覆性質はどのように保存されるか。
• RQ4 この性質が集合値包含の可解性に与える影響は何か。
• RQ5 この性質を、集合包含制約付き最適化問題における正確なペナルティ化を達成するために活用できるか。

主な発見

• Banach空間間の閉凸作用素のクラスが、明示的な距離条件によって特徴づけられる強い被覆性質を満たすことが特定された。
• 距離推定とメトリック正則性の概念を用いて、被覆性質の同等な再定式化が導出された。
• 被覆性質がリプシッツ摂動下でも安定しており、摂動された写像においても性質が保たれることが示された。
• 理論的枠組みにより、被覆性質を用いた集合値包含の可解性の分析が可能になった。
• 被覆性質を活用することで、集合包含制約付き最適化問題における正確なペナルティ化が支援された。
• 古典的な開性およびメトリック正則性の結果が、Banach空間におけるより強く構造化された設定へと拡張された。