[論文レビュー] On a Tree and a Path with no Geometric Simultaneous Embedding

Patrizio Angelini, Markus Geyer+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2010

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 12被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、辺が互いに素な場合でも、すべての木とパスが幾何的同時埋め込みを許容するとは限らないことを示すことで、グラフ描画分野における長年の未解決問題を解決した。著者らは、深さ4の木と、領域レベルの非平面的配置を強制するパスを用いた反例を構築し、このような埋め込みが常に可能であるとは限らないことを示した。この結果は、2つの辺が互いに素な木が同時に埋め込みを許容しない可能性があることも示しており、分野内の別の未解決問題にも答えている。

ABSTRACT

Two graphs $G_1=(V,E_1)$ and $G_2=(V,E_2)$ admit a geometric simultaneous embedding if there exists a set of points P and a bijection M: P -> V that induce planar straight-line embeddings both for $G_1$ and for $G_2$. While it is known that two caterpillars always admit a geometric simultaneous embedding and that two trees not always admit one, the question about a tree and a path is still open and is often regarded as the most prominent open problem in this area. We answer this question in the negative by providing a counterexample. Additionally, since the counterexample uses disjoint edge sets for the two graphs, we also negatively answer another open question, that is, whether it is possible to simultaneously embed two edge-disjoint trees. As a final result, we study the same problem when some constraints on the tree are imposed. Namely, we show that a tree of depth 2 and a path always admit a geometric simultaneous embedding. In fact, such a strong constraint is not so far from closing the gap with the instances not admitting any solution, as the tree used in our counterexample has depth 4.

研究の動機と目的

• すべての木とパスが幾何的同時埋め込みを許容するかどうかという未解決問題を解決すること。
• 2つの辺が互いに素な木が常に幾何的同時埋め込みを許容するかどうかを特定すること。
• 同時に埋め込みが可能であることを保証する構造的制約を同定すること。
• 反例の構築のため、レベル非平面的木の概念を領域レベル非平面的木へと拡張すること。

提案手法

• 複数のレベル非平面的木構造のコピーから成る木を構築し、それぞれが特定の頂点配置を要件として平面的であることを保つ。
• パスを用いて凸包と頂点順序によって幾何的領域を定義し、木の頂点を非平面的配置に強制する。
• パスの構造を活用して、木の頂点にレベル付けを強制し、少なくとも1つの部分木の平面性条件を破る。
• 任意の点集合埋め込みにおいて、強制された領域制約のため、少なくとも1つの部分木がエッジの交差を引き起こすように埋め込まれることを証明する。
• 角度のウェッジと単調なx座標順序を用いて、深さ2の木と任意のパスのための構成的アルゴリズムを設計する。
• 1側接続と凸包の性質を用いて、深さ2の場合にパスのエッジが木のエッジと交差しないように保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての木とパスは幾何的同時埋め込みを許容するか？
• RQ2 2つの辺が互いに素な木は常に幾何的同時埋め込みを許容するか？
• RQ3 木の構造的制約（例：深さ）は、どのようなものであればパスと常に同時に埋め込み可能になるか？
• RQ4 レベル非平面的木の概念を、反例の構築のための領域レベル非平面的木へと拡張できるか？
• RQ5 深さ3などの深さの閾値が、木とパスが常に同時に埋め込み可能であることを保証するか？

主な発見

• すべての木とパスが幾何的同時埋め込みを許容するとは限らないことを示す反例が存在し、分野における最も顕著な未解決問題が解決された。
• 反例は深さ4の木と共有エッジのないパスを用いており、辺が互いに素な木が同時に埋め込みを許容しない可能性があることを証明している。
• 著者らは、特定の幾何的領域内に頂点を配置することで非平面的になる「領域レベル非平面的木」の概念を導入した。
• パスを用いて凸包領域を定義し、木の少なくとも1つの部分木に対して非平面的配置を強制した。
• 任意の深さ2の木と任意のパスに対して、幾何的同時埋め込みを保証する構成的アルゴリズムが提供された。
• 深さ2が臨界的な閾値である可能性が示唆されており、論文では深さ3の木が常にこのような埋め込みを許容するかどうかは未解決のまま残されている。