[論文レビュー] On a vanishing conjecture appearing in the geometric Langlands correspondence

Dennis Gaitsgory|ArXiv.org|Apr 7, 2002

Advanced Algebra and Geometry参考文献 4被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、GL_n における幾何的ラングランズ対応の中心的である、ある重要な消滅予想を証明する。特定のヘッケ型関手が低ランクのベクトル束に作用する際にその消滅を示す。著者は、ウィットカー関手に基づく新規な商圏構成と正確性の議論を用いて、d が十分に大きいとき、関手 Av_E^d が恒等的に消えることを示し、特性 0 および ℓ > d のときの F_ℓ-係数において、幾何的ラングランズ対応を完成させる。

ABSTRACT

Let $X$ be a smooth complete curve, and let $Bun_n$ be the moduli stack of rank $n$ vector bundles on $X$. Let $E$ be a local system on $X$. In a recent paper of E.Frenkel, K.Vilonen and the author, it was shown that the vanishing of a certian functor $Av_E^d$ acting from the category $D(Bun_n)$ to itself, implies the geometric Langlands conjecture. In this paper we establish the required vanishing result. Our proof works for sheaves with char=0 coefficients, or with torsion coefficients when the parameter $d$ is less than the characteristic.

研究の動機と目的

• GL_n における幾何的ラングランズ対応に不可欠な消滅予想を証明すること。
• 非退化（カスピダル）層を捉え、t-構造を保つ商圏 D̃(Bun_n) の存在を確立すること。
• 正確性と帰納法を用いて、d が十分に大きいとき Av_E^d が恒等的に消えることを示すこと。
• ラフォルジュの定理に依存しない一様な証明を提供すること。特性 0 および ℓ > d のときの F_ℓ-係数において有効である。
• 関手的消滅とオイラー乗数の比較を用いて、幾何的ラングランズにおける逆定理的手法を一般化すること。

提案手法

• 同じランクの局所系間でのオイラー＝ポoincaré乗数の比較により、Av_E^d の消滅をその正確性の証明に還元する。
• 対称群 Σ_d の作用を用いて、Av_E^d を基本的関手 Av_E^1 で表現する。
• ウィットカー関手を用いて、退化した層を消去することで、三角圏としての商圏 D̃(Bun_n) を構成する。
• 商圏が perverse t-構造を引き継ぎ、ヘッケ関手がそこへ下がり、正確性を保つことを示す。
• E の既約性とウィットカー関手の構造を用いて、D̃(Bun_n) 上で Av_E^1 が正確であることを証明する。
• n に関する帰納法とカスピダル層への直交性を用いて、Av_E^d が D(Bun_n) 上で正確であることを導き、したがって消えることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何的ラングランズ対応に要請されるように、d が十分に大きいとき Av_E^d が D(Bun_n) に作用する際に消えるか？
• RQ2 Av_E^d の消滅は、 perverse 層の圏上でその正確性を示すことに帰着可能か？
• RQ3 ウィットカー関手は、カスピダル層を分離する商圏を定義する際に果たす役割は何か？
• RQ4 ヘッケ関手における対称群 Σ_d の作用は、Av_E^d を Av_E^1 に還元するためにどのように機能するか？
• RQ5 特性 0 あるいは ℓ > d のときの F_ℓ-係数において、ラフォルジュの定理に依存せずに証明を可能にするか？

主な発見

• 消滅予想が証明された：十分に大きな d に対して、関手 Av_E^d は D(Bun_n) 上で恒等的に消える。
• 証明は、オイラー乗数の比較と帰納法を用いて、Av_E^d の消滅をその正確性の証明に還元する。
• カスピダル層を分離し、 perverse t-構造を保つ商圏 D̃(Bun_n) が構成された。
• ヘッケ関手は D̃(Bun_n) へ下がり、正確性を保つため、ウィットカー関手を議論に用いることが可能になった。
• D̃(Bun_n) 上で基本的関手 Av_E^1 が正確であることが示され、これは退化層を除く Av_E^d の正確性を意味する。
• カスピダル層への直交性と帰納法を用いて、Av_E^d が D(Bun_n) 上で正確であることが示され、したがって消えることが結論づけられた。