[論文レビュー] On analytic analogues of quantum groups

Craig Smith|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、解析的ニコルズ代数とマジドのダブル・ボソン化を用いて、非アルキメデス的およびアルキメデス的体上の解析的量子群の新規構成を提示し、表現のbraidedモノイダル圏を確立する。有界コホモロジーを用いたリジディティ結果を示し、p進ドリンフェルト＝コフノ定理の基盤を築き、p進特殊関数を含む新しい braid 群表現の可能性を示唆する。

ABSTRACT

In this paper we present a new construction of analytic analogues of quantum groups over non-Archimedean fields and construct braided monoidal categories of their representations. We do this by constructing analytic Nichols algebras and use Majid's double-bosonisation construction to glue them together. We then go on to study the rigidity of these analytic quantum groups as algebra deformations of completed enveloping algebras through bounded cohomology. This provides the first steps towards a $p$-adic Drinfel'd-Kohno Theorem, which should relate this work to Furusho's $p$-adic Drinfel'd associators. Finally, we adapt these constructions to working over Archimedean fields.

研究の動機と目的

• 任意のカク・ムーディリー代数に対する非アルキメデス的体上での量子群の解析的類似体を構成し、先行研究の制限を克服すること。
• これらの解析的量子群の表現のbraidedモノイダル圏を確立し、新たなbraid群表現を可能にすること。
• 有界コホモロジーを用いて、完備包あらゆる代数の代数的変形としてのこれらの量子群のリジディティを研究すること。
• フルショのp進ドリンフェルトアソシエーターとの関係を示し、p進ドリンフェルト＝コフノ定理の基盤を築くこと。
• 構成をアルキメデス的体へ拡張し、特殊解析関数（例：p進多重多ポリログ）との関係を調査すること。

提案手法

• 非アルキメデス的体上での解析的ニコルズ代数を、完備テンソル代数の商として、普遍ホップイデアルまたは双対性ペアリングの根基によって定義する。
• マジドのダブル・ボソン化構成を用いて、正部分と負部分の解析的ニコルズ代数を統合し、完全な解析的量子群を得る。
• ドリンフェルト双対の別表現としての商を用いることで、BGG的類似のカテゴリOに同型なbraidedモノイダル圏の表現を得る。
• 有界コホモロジーを用いてリジディティ定理を証明し、コホモロジーの消失仮定の下で、完備包あらゆる代数の任意の代数的変形が自明で、互いに共役を除き一意的であることを示す。
• RまたはCを基とするIndBanach圏において、解析的ニコルズ代数および量子群を定義することで、構成をアルキメデス的体へ適応する。
• 双対性ペアリングとコアクションを用いて、クロスモジュールのカテゴリを定義し、解析的量子群のモジュール圏への完全忠実関手を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のカク・ムーディリー代数に対して、解析的ニコルズ代数を用いて非アルキメデス的体上での解析的量子群を体系的に構成可能か？
• RQ2 これらの解析的量子群は、BGGカテゴリOを一般化するbraidedモノイダル圏の表現を有するか？
• RQ3 これらの解析的量子群は、完備包あらゆる代数の代数的変形としてリジディティを示し、その保証に必要なコホモロジー的条件は何か？
• RQ4 構成をアルキメデス的体へ拡張可能か？ また、新たな表現論的構造はどのようなものか？
• RQ5 これらの解析的量子群とp進ドリンフェルトアソシエーターとの間に何らかの関係があるか？ これによりp進ドリンフェルト＝コフノ定理が導かれる可能性はあるか？

主な発見

• 解析的ニコルズ代数は2通りの同等な方法で構成される：普遍ホップイデアルによる商、および双対性ペアリングの根基による商。これによりダブル・ボソン化に適合する。
• ダブル・ボソン化構成により、IndBanachホップ代数と呼ばれる解析的量子群が得られ、これは量子包あらゆる代数の正部分と負部分の完備化である。
• 標準的なR行列は解析的量子群では収束しないが、ドリンフェルト双対の別表現としての商を用いることで、braidedモノイダル圏の表現が構成可能である。
• 有界コホモロジーを用いてリジディティ定理を証明した：コホモロジーの消失仮定の下で、完備包あらゆる代数の任意の代数的変形は自明で、共役を除き一意的である。
• 構成はアルキメデス的体へ拡張可能であり、解析的量子群とbraidedモジュール圏が得られ、カテゴリOΨはコアクションと双対性構造を介してbraidedであることが示された。
• この枠組みは、新たなbraid群表現を示唆し、p進多重多ポリログや量子ディログの関数がモジュールのbraidingに現れる可能性がある。