[論文レビュー] On Approximating Discontinuous Solutions of PDEs by Adaptive Finite Elements

Shun Zhang|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2019

Differential Equations and Numerical Methods参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、適応有限要素法を用いて偏微分方程式の不連続解を調査し、不連続メッシュ上での不連続な定数近似がオーバーシュートを排除することを示している。一方、連続的または不一致な線形近似は、必ず非自明なオーバーシュートを生じる。主な貢献は、適応メッシュの細分化と不連続ガラーキンに類似した近似を組み合わせることで、鋭い層構造や不連続性に対して最適な近似が達成できることの証明である。

ABSTRACT

For singularly perturbed problems with a small diffusion, when the transient layer is very sharp and the computational mesh is relatively coarse, the solution can be viewed as discontinuous. For both linear and nonlinear hyperbolic partial differential equations, the solution can be discontinuous. When finite element methods with piecewise polynomials are used to approximate these discontinuous solutions, numerical solutions often overshoot near a discontinuity. Can this be resolved by adaptive mesh refinements? In this paper, for a simple discontinuous function, we explicitly compute its continuous and discontinuous piecewise constant or linear projections on discontinuity matched or non-matched meshes. For the simple discontinuity-aligned mesh case, piecewise discontinuous approximations are always good. For the general non-matched case, we explain that the piecewise discontinuous constant approximation combined with adaptive mesh refinements is the best choice to achieve accuracy without overshooting. For discontinuous piecewise linear approximations, non-trivial overshootings will be observed unless the mesh is matched with discontinuity. For continuous piecewise linear approximations, the computation is based on a far away assumption, and non-trivial overshootings will always be observed under regular meshes. We calculate the explicit overshooting values for several typical cases. Several numerical tests are preformed for a singularly-perturbed reaction-diffusion equation and linear hyperbolic equations to verify our findings in the paper.

研究の動機と目的

• 鋭い層を有する偏微分方程式の有限要素近似において、不連続性の近傍で生じる数値的オーバーシュートを解消すること。
• 適応メッシュの細分化が、不連続解におけるオーバーシュート問題を解消できるかどうかを調査すること。
• 一致メッシュと不一致メッシュ上での連続的および不連続的な区分多項式近似の性能を比較すること。
• 双曲型方程式および反応拡散方程式における標準的有限要素法のオーバーシュート挙動を定量すること。
• 適応有限要素法を用いて不連続解に対する最適な近似戦略を確立すること。

提案手法

• 不連続性に一致するメッシュおよび不一致メッシュ上での不連続関数の区分定数および線形射影を明示的に計算する。
• 正則メッシュおよび適応メッシュ下での連続的および不連続的有限要素近似の挙動を分析する。
• 典型的なケース、特に線形および定数近似におけるオーバーシュート値の明示的表現を導出する。
• 適応メッシュの細分化により要素を不連続性に一致させ、近似誤差およびオーバーシュートを最小化する。
• 特異摂動型反応拡散方程式および線形双曲型方程式に対して数値実験を実施し、理論的予測の妥当性を検証する。
• メッシュの一致状態に応じて、連続的・不連続的、線形・定数近似の結果を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 適応メッシュの細分化は、不連続PDE解の有限要素近似においてオーバーシュートを解消できるか？
• RQ2 不連続性にメッシュを一致させることで、区分定数および線形有限要素近似の精度およびオーバーシュートにどのような影響を与えるか？
• RQ3 なぜ連続的区分線形近似は、正則メッシュ上では常に非自明なオーバーシュートを生じるのか？
• RQ4 代表的な不連続ケースにおける標準的有限要素近似の明示的オーバーシュート値は何か？
• RQ5 鋭い層を捉える際に、不連続な区分定数近似は連続的または線形近似よりも優れているか？

主な発見

• 不連続性に一致するメッシュ上での不連続な区分定数近似は、オーバーシュートを生じさせず、不連続解に対して最適である。
• 不一致メッシュ上では、適応細分化を組み合わせた不連続な区分定数近似が、オーバーシュートを伴わず高い精度を達成する。
• 不連続な区分線形近似は、メッシュが不連続性に完全に一致しない限り、非自明なオーバーシュートを示す。
• 連続的区分線形近似は、ガラーキン定式化における遠方仮定のため、正則メッシュ上では常に非自明なオーバーシュートを生じる。
• 主要なケースにおける明示的オーバーシュート値が導出され、標準的有限要素法における誤差の大きさが定量的に評価された。
• 数値実験により、適応細分化と不連続定数近似を組み合わせた手法が、特異摂動型および双曲型PDEにおいてオーバーシュートを効果的に抑制することを確認した。