[論文レビュー] On Approximating Partial Set Cover and Generalizations

Chandra Chekuri, Kent Quanrud+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 24被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、部分集合被覆問題（Partial-SC）およびその一般化に対する近似アルゴリズムを、劣微分関数とLPラウンディングを活用することで改善する。Partial-SCに対して、$(1 - 1/e)(\beta + 1)$-近似を提示し、従来の$2(\beta + 1)$-近似を改善する。また、多変数被覆制約への応用に関しては、多変数拡張と集中不等式を用いた新規の解析により一般化を達成する。

ABSTRACT

Partial Set Cover (PSC) is a generalization of the well-studied Set Cover problem (SC). In PSC the input consists of an integer $k$ and a set system $(U,S)$ where $U$ is a finite set, and $S \subseteq 2^U$ is a collection of subsets of $U$. The goal is to find a subcollection $S' \subseteq S$ of smallest cardinality such that sets in $S'$ cover at least $k$ elements of $U$; that is $|\cup_{A \in S'} A| \ge k$. SC is a special case of PSC when $k = |U|$. In the weighted version each set $X \in S$ has a non-negative weight $w(X)$ and the goal is to find a minimum weight subcollection to cover $k$ elements. Approximation algorithms for SC have been adapted to obtain comparable algorithms for PSC in various interesting cases. In recent work Inamdar and Varadarajan, motivated by geometric set systems, obtained a simple and elegant approach to reduce PSC to SC via the natural LP relaxation. They showed that if a deletion-closed family of SC admits a $β$-approximation via the natural LP relaxation, then one can obtain a $2(β+ 1)$-approximation for PSC on the same family. In a subsequent paper, they also considered a generalization of PSC that has multiple partial covering constraints which is partly inspired by and generalizes previous work of Bera et al on the Vertex Cover problem. Our main goal in this paper is to demonstrate some useful connections between the results in previous work and submodularity. This allows us to simplify, and in some cases improve their results. We improve the approximation for PSC to $(1-1/e)(β+ 1)$. We extend the previous work to the sparse setting.

研究の動機と目的

• 劣微分関数解析を用いて、従来の$2(\beta+1)$-近似を上回るPartial-SCの近似比を改善すること。
• 文献[BGKR14, IV18b]の結果をスパースな集合系および複数被覆制約へ一般化すること。
• 劣微分関数と多変数拡張の観点から、Partial-SCおよびその変種に対する既存の手法を統一的かつ簡素化すること。
• Set Cover問題がLPにより$\beta$-近似可能である削除閉じた族において、Partial-SCのよりタイトな近似保証を提供すること。
• Partition-SCのような複数制約問題へ、LPベースのラウンディング手法の適用範囲を拡大すること。特に、KC不等式を分離オракルとして用いたシンプレックス法を用いる。

提案手法

• 元のSet Coverインスタンスと同じLPを用いて、Partial-SCを自然なLP緩和によりSet Coverに還元する。
• 分数LP解に対して確率的ラウンディング手順を適用する。主なステップとして、$\tau$でスケーリングされた変数の独立ラウンディングを含む。
• 被覆関数の多変数拡張$G(x)$を用いて期待性能を解析し、劣微分最適化から知られている集中不等式を活用する。
• 二段階ラウンディングプロセスを採用：まず$Y_1, Y_2$を独立ラウンディングでサンプリングし、次に残余被覆要件$b'_k$を条件付きに扱う。
• 集中不等式（補題2.4）を適用し、$\tau \leq (1 - 1/e)/4$のとき、残余被覆が確率$> 0.78$で少なくとも$b'_k$以上を満たすことを示す。
• 分離オラクルとしてKC不等式を用いたシンプレックス法を用いることで、性能保証に必要な制約を満たす分数解を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 劣微分解析を用いて、$2(\beta + 1)$を超えるPartial-SCの近似比を改善できるか？
• RQ2 Partition-SCのような複数部分被覆制約を持つ問題へ、Partial-SCの結果をどの程度一般化できるか？
• RQ3 特に幾何的または低頻度設定におけるスパースな集合系において、アルゴリズムの性能保証を維持できるか？
• RQ4 複数制約の劣微分集合被覆問題に対して、二基準的でない一様近似（unicharacteristic approximation）を達成できるか？
• RQ5 KC不等式を分離オラクルとして用いるシンプレックス法への依存を回避またはより効率的なLP解法に置き換えられるか？

主な発見

• Set Cover問題が標準LPにより$\beta$-近似可能である削除閉じた族において、Partial-SCに対して$(1 - 1/e)(\beta + 1)$-近似が達成された。
• 多変数拡張と集中不等式を用いたよりタイトな解析のおかげで、従来の$2(\beta + 1)$-近似を改善した。
• スパースな集合系における複数制約のPartition-SC問題に対しても、同じ仮定の下で定数倍近似を維持できる。
• 確率が少なくとも$0.78$以上であることを示した。$\tau \leq (1 - 1/e)/4$のとき、確率的ラウンディング手順は残余被覆要件$b'_k$を満たす。
• 分数解がすべてのKC不等式を満たさなくても、KC不等式を分離オラクルとして用いたシンプレックス法により、性能保証が成立する。
• 劣微分関数の性質、特に多変数拡張とその集中性が、一般化された集合被覆問題に対する既存の近似アルゴリズムを統一的かつ強化する手段として有効であることが示された。