[論文レビュー] On approximation of quantum channels

M. E. Shirokov, A. S. Holevo|ArXiv.org|Nov 14, 2007

Quantum Information and Cryptography参考文献 18被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、トレース非増加完全正則マップ（操作）を用いた無限次元量子チャネルの近似フレームワークを構築し、ホーレボ容量や出力エントロピーの凸包といったエントロピック特性の連続性に関する性質に注目する。強収束位相が近似の自然な設定であることを示し、近似列の一様収束を証明することで、無限次元チャネルにおける強い加法性結果を可能にする。

ABSTRACT

We develop an approximation approach to infinite dimensional quantum channels based on detailed investigation of the continuity properties of entropic characteristics of quantum channels and operations (trace-nonincreasing completely positive maps) as functions of a pair ``channel, input state''. The obtained results are then applied to the following problems: continuity of the $χ$-capacity as function of a channel; strong additivity of the $χ$-capacity for infinite dimensional channels; the analytical expression for the convex closure of the output entropy of arbitrary quantum channel.

研究の動機と目的

• 無限次元量子チャネルにおけるエントロピック特性の不連続性および非有界性の課題に対処する。
• 近似を用いて有限次元での古典的容量に関する結果を無限次元設定に一般化する。
• 量子操作およびチャネルの近似のための厳密な位相的枠組み（強収束）を確立する。
• 出力エントロピーの凸包およびホーレボ容量の近似列の一致収束を証明する。
• 有限次元ケースからの近似を用いて、無限次元チャネルにおけるホーレボ容量の強い加法性を確立する。

提案手法

• 量子操作における強収束位相を導入し、一般化されたチョイ・ヤミェコルスキーダイソモルフィズムを用いて、それが合成系における状態の部分集合と同型であることを示す。
• チャネルおよび入力状態の関数としての出力エントロピーの凸包および制約付きホーレボ容量（χ関数）を定義し、それらを分析する。
• 一般化されたチョイ・ヤミェコルスキーダイソモルフィズムを用いて、操作の集合のコンパクト性基準を導出する。
• チャネル $\Phi$ に対する有限ランク近似列 $\Phi_n$ を構成し、$\check{H}^n_\Phi(\rho)$ を状態の集合の下界として定義する。
• ディニの補題および連続性の結果を適用して、出力エントロピーが連続であるコンパクト集合上で $\check{H}^n_\Phi$ が $\overline{\mathrm{co}}H_\Phi$ に一様収束することを証明する。
• 近似フレームワークを活用して、無限次元チャネルにおけるホーレボ容量の強い加法性を証明し、エンタングルメントの形成を有限ランク近似の極限として表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限次元量子チャネルにおける不連続なエントロピック特性は、どのように意味的に近似可能か？
• RQ2 どのような位相的構造が、連続的特性を有する操作による量子チャネルの一貫した近似を可能にするか？
• RQ3 近似関数列 $\check{H}^n_\Phi$ が、出力エントロピーが連続である集合上で、出力エントロピーの凸包に一様収束するための条件は何か？
• RQ4 有限次元近似を用いて、無限次元チャネルにおけるホーレボ容量の強い加法性を確立できるか？
• RQ5 エンタングルメントの形成は、操作の近似列の観点からどのように表現されるか？

主な発見

• 強収束位相は、量子操作およびチャネルの近似に自然かつ効果的な枠組みを提供し、一般化されたチョイ・ヤミェコルスキーダイソモルフィズムの利用を可能にする。
• 出力エントロピーが連続である任意のコンパクト集合上で、近似関数列 $\check{H}^n_\Phi$ は $\overline{\mathrm{co}}H_\Phi$ に一様収束する。
• ガウス型チャネルに対しては、平均エネルギーが有界な状態において $\check{H}^n_\Phi$ から $\overline{\mathrm{co}}H_\Phi$ への収束が一様である。
• 合成状態 $\omega$ のエンタングルメントの形成 $E_F(\omega)$ は、極限 $\lim_{n\to\infty}\check{H}^n_\Theta(\omega)$ に等しく、これがクラス $\widehat{P}(\mathfrak{S}(\mathcal{H}\otimes\mathcal{K}))$ 属することを示す。
• この近似フレームワークを用いて、有限次元加法性予想から無限次元チャネルにおけるホーレボ容量の強い加法性が導かれる。
• 集合 $\mathfrak{T}_1(\mathcal{H})$ の部分集合のコンパクト性基準が確立され、$\mathcal{A} \otimes \mathcal{B}$ がコンパクトであるための必要十分条件として $\mathcal{A}$ および $\mathcal{B}$ がコンパクトであることであることが示される。